Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
В частности (см. § 6, п° 4), если, как обычно, отождествлять'элемент х ? E (соответственно у ? F) с одностолбцовой матрицей, образованной его компонентами относительно ((Zjl) (соответственно (Ьд)), то
и (х) =M (и) -Xа. (2)
20 н. Бурбаки
306 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ II. ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть (а^) и (6^) — базисы в Е* и F*, сопряженные к (а-А) и (Ь^); если U — матрица отображения и относительно базисов (ах) и (6р.) то матрица отображения tU относительно базисов (6^) и (а'^) равна *(?/а 1).
Наконец, если (я^)^, (^ц)д?м — базисы модулей E и F, P — матрица перехода (§6, Ii0 9) от (aк (a^) и Q — матрица перехода от (і>д) к (Ь^)і то матрица отображения и относительно базисов (а?) и (6Ц) равна
Q-if7PCT.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
К ГЛАВЕ II АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение аффинных пространств
Определение 1. Аффинным пространством, ассоциированным с заданным левым (соответственно правым) векторным пространством T над телом К, называется каждое однородное пространство E аддитивной группы T (гл. I, § 7, п° 6) такое, что О является единственным ее оператором, оставляющим инвариантными все элементы из E (т. е. что T действует в E точно и транзитивно). При этих условиях T называется пространством переносов аффинного пространства E, а элементы из E — переносами пространства E (или свободными векторами этого пространства).
В дальнейшем мы ограничимся случаем левого векторного пространства T над К. Размерность (над К) векторного пространства T переносов аффинного пространства E называется размерностью пространства E (над К) и обозначается dimi? или dim^i?. Одномерное (соответственно двумерное) аффинное пространство называется аффинной прямой (соответственно аффинной плоскостью). Элементы аффинного пространства именуются также точками.
В условиях определения 1 мы обозначаем через t + я или я+#, где t?T и а?Е, образ точки а при отображении t. Таким образом, каковы бы ни были s g Т, t g T и a g Е,
s+ (* + о) = (s +1) + а, 0 -\-а = а. (1)
Кроме того, из определения 1 вытекает, что для каждого a g E отображение t —» t + а есть биекция T на Е. Иными словами, для
20*
308 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
любых двух точек а, Ь из E существует, и притом только один, перенос t такой, что b — t + а; будем обозначать его Ь — а; каковы бы ни были а б Е, b? Е, с? Е, имеем
а— а = 0, а--Ь=—(6 —а), b = (b— а)+а.
(с — Ь) + (Ь — а) = с — а. (2)
Если точки a, b, a', b' пространства E таковы, что Ь—а=Ъ'—а', то, как следует из формулы
b' = (b' — Ь) -f (b — a) -J- а = (6' — а') + (а' — а) + а
и коммутативности сложения в Т,
b' — Ь —а' — а
(«правило параллелограмма»).
Для каждого a g E отображение х—>х—а есть биекция E на Т; отождествляя EcT посредством этого отображения, говорят, что E рассматривается как векторное пространство, полученное путем принятия а за начало в Е. Обратно, каждое векторное пространство T канонически наделено структурой ассоциированного с ним аффинного пространства, а именно структурой однородного пространства, соответствующего подгруппе {0} аддитивной группы T (гл. I, § 7, п° 6).
Замечание. Определения этого п° и часть дальнейших результатов ^непосредственно распространяются на тот случай, когда вместо векторного пространства T рассматривается произвольная коммутативная группа с операторами Т.
2. Барицентрическое исчисление
Предложение 1. Пусть (Xl)i^ — семейство точек аффинного пространства E над К, — семейство элементов из К, равных
нулю для всех кроме конечного числа индексов и таких, что
2^,= 1 (соответственно 2 ^1 = O), и а — произвольная точка і?/
из Е. Точка х? E, определяемая формулой
х ¦ а = 21 (*^1 * ^)
і ?1
(соответственно свободный вектор 2 ixi ~~ а))> не зависит от, рассматриваемой точки а.
5 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 309 Действительно, для любой другой точки а' ? E имеем
S ~~а)= 2 ((rrI— д)+(® ~ а))=
I I
= 2 - а)+ (2А) (а —а').
І і
Если 2^=1,1-° получаем 2 (xi ~ а')= (х-а)-\~ (а—а') = х— а ,
і і
если же 2/4 = 0' то 2 (xV- а') — 2 — а)> и предложение
I I I
доказано.
В условиях предложения 1 точка х, определяемая формулой х — а = 2 (xI ~ а) (соответственно свободный вектор 2 К (arI — а))>
і?/ I ?1
будет обозначаться 2 В частности, таким образом вновь
і є/
получается обозначение b — а, введенное в n° I. В случае 2 ^i- ^
I
точка х = 2 KxI называется центром тяжести семейства точек X1, і
снабженных массами X1.
Если A1, ..., ат — точки из Е, число т которых не делится на
т
характеристику тела К (гл. I, § 8, п° 8), то точку g= ~ “і называют
i=l
(допуская вольность речи) центром тяжести семейства точек «і (1 ? < т) (при /га — 2 вместо «центр тяжести» говорят «середина»);
т
он характеризуется соотношением (а;—g)=0.
і= і
•і. Линейные многообразия
Определение 2. Множество V точек аффинного пространства E называют аффинным линейным многообразием (или просто линейным многообразием), если для каждого семейства (Xl)lCj точек из V и каждого семейства (Xt)ie/ элементов иэ К, равных
