Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
нулю для всех кроме конечного числа индексов и таких, что 2 = 11
і ?1
центр тяжести 2 принадлежит V. і ЄІ
310 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Достаточно потребовать, чтобы условие определения 2 выполнялось для каждого конечного семейства точек из V.
Пустое множество есть линейное многообразие; пересечение любого семейства линейных многообразий есть линейное многообразие.
Пусть Г — непустое множество в E и а — его точка; соотношение
П
~ а “ ^ (Х\ й) itTl
п п
означает, что х есть центр тяжести 2 XiXi + (1 — S Xi) а семейства,
І=і 1=1
образованного всеми точками Xi и а. Следовательно;
Предложение 2. Для того чтобы непустое множество V точек аффинного пространства E было линейным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы V было векторным подпространством относительно структуры векторного пространства в E, получаемой путем принятия любой точки из F за начало.
В частности, непустые аффинные линейные многообразия векторного пространства T (рассматриваемого как аффинное пространство) — это не что иное, как множества точек, получаемые путем переносов векторных подпространств этого пространства Т\ значит, векторные подпространства пространства T — это линейные многообразия, содержащие 0; их называют также однородными линейными многообразиями.
Пусть V — непустое линейное многообразие аффинного пространства Е\ множество D всех свободных векторов х — у, где X и у пробегают V, есть векторное подпространство пространства T переносов аффинного пространства Е; действительно, если а? V, то можно написать
х-у = (х-а) — (у — а)
и достаточно проверить, что множество всех свободных векторов х—а, где X пробегает V, есть векторное подпространство пространства Г; но так как (х—а)-f- (у— a) = (z-j- у — а) — а и I (х— а) = = (Xx -|- (I — X) а) — а, то это вытекает из определения 2. Мы будем
;і ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 311
называть D направляющим подпространством или направляющей линейного многообразия V. Очевидно, D действует в V точно и транзитивно, так что V канонически наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с D. Под размерностью линейного многообразия V понимают его размерность в этой структуре аффинного пространства, т. е. размерность векторного пространства D. Линейные многообразия размерности О — это точки пространства Е\ линейные многообразия размерности 1 (соответственно 2) называются прямыми (соответственно плоскостями) аффинного пространства Е.
Каждый ненулевой вектор, принадлежащий направляющему
подпространству прямой, называется направляющим вектором этой прямой; его компоненты относительно базиса векторного пространства T образуют так называемую систему направляющих параметров ассматриваемой прямой.
Факторразмерностью линейного многообразия Vb E называется факторразмерность его направляющего подпространства D в Т; линейное многообразие, имеющее в E факторразмерность 1, называется (аффинной) гиперплоскостью аффинного пространства Е.
Два линейных многообразия с одной и той же направляющей называются параллельными; то же самое можно выразить, сказав, что параллельные линейные многообразия — это линейные многообразия, получающиеся друг из друга путем переноса. Направляющей линейного многообразия Vb T (рассматриваемом как аффинное пространство) служит однородное линейное многообразие, параллельное V.
Предложение 3. Каково бы ни было семейство (at)i,gj точек аффинного пространства Е, множество V всевозможных центров
тяжести 2 (\ = 0 для всех кроме конечного числа индексов
і ZI
и = есть линейное многообразие в Е.
I ?/
Если семейство (at) пустое, то, вследствие условия 2^t = l.
Ь
V= 0. Поэтому можно считать семейство (aL) непустым, а в этом случае предложение становится очевидным, если принять в E одну из точек Q1 за начало.
312 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Очевидно, F есть наименьшее линейное многообразие, содержащее точки а1; оно называется аффинным многообразием,
порожденным семейством (at).
В обозначениях предложения 3, предполагая семейство (at) непустым, для единственности представления каждой точки .г? F в виде X = 2 X1^t необходимо и достаточно, чтобы семейство
I
векторов CL1-CIk пространства Т, где X — произвольный фиксированный индекс из І, а і пробегает множество всех индексов
1 Ф х, было свободным. В этом случае семейство (XXg/ точек из E называют аффинно свободным (а его элементы аффинно независимыми, или образующими аффинно свободную систему)', называется i-й барицентрической координатой точки х относительно аффинно свободного семейства (?).
Семейство (A1)1 Cl точек из Е, не являющееся аффинно свободным, называется аффинно зависимым.
Предложение 4. Для того чтобы непустое семейство (at) точек аффинного пространства E было аффинно зависимым, необходимо и достаточно, чтобы существовало семейство (Xt)lg/ элементов тела К (равных нулю для всех кроме конечного числа
индексов) такое, что 2 = 0 и 2 X,at = 0, но не все X1 = 0.
