Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
б) Пусть D1, D2 — Две параллельные прямые в і? и D11, D2 — прямые в E', содержащие соответственно U(D1) и и (D2). Показать, что D11 и D12 лежат в одной плоскости и, если, кроме того, м сюръективно, параллельны. [Показать, что в противном случае должны €ыли бы существовать три точки, не лежащие на одной прямой, переводимые отображением м в і очки одной прямой.] (Cm. Приложение III, упражнение 11.)
в) Будем предполагать, что CMH-D11-D2 —параллельные прямые из Е, то прямые в E', содержащие соответственно u (D1), и (Di), параллельны. Показать, выбрав в E начало а и в E' — начало а'=м(а), что существует изоморфизм а тела К на подтело K1 тела К' такой, что если рассматривать E как векторное пространство над К, & E' — как векторное пространство над K1. то м будет инъективным полулинейным (относительно а) отображением E в E' (Приложение I). [Рассмотреть сначала случай п=2. Показать, что, выбрав базис (вх, е2) в Е, можно для любых двух элементов а и P тела К, отправляясь от точек 0, еи е2, ие1г Pe1, построить в E точки (а+Р) ех и (оф) eL
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
с помощью построения параллелей к заданным прямым и точек пересечения заданных прямых; вывести отсюда, что и (Xe1)=X0M ^1), где ст — изоморфизм тела К на подтело тела К'\ далее, рассматривая прямую, соединяющую точки Xe1 и Xe2, показать, что также и (Xe2)= = Хам (е2). Наконец, перейти отсюда к случаю произвольного п индукцией по п.] Показать, что если и биективно, то K1=K'.
г) Распространить результат пункта в) на случай тела К, состоящего из двух элементов, предполагая дополнительно, что и преобразует каждую систему аффинно независимых точек из E в систему аффинно независимых точек из E'.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
К ГЛАВЕ II ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение проективных пространств
Определение 1. Левым (соответственно правым) проективным пространством, порожденным левым (соответственно правым) векторным пространством V над телом К, называют фактормножество P (F) дополнения V* к {0} в V по отношению эквивалентности A (F): «в К существуеткфО такое, что у=Xx (соответственно у=хХ)» между х и у в V*.
В случае, когда F=/sT"+l, вместо P (ЙТ"+1) и A (7sT”+1) пишут также Pп(К) и An(K).
Определение 1 можно выразить также, сказав, что P (F) есть множество всех (однородных) прямых пространства F, лишенных начала, и, значит, канонически отождествляется с множеством всех (однородных) прямых пространства F. Элементы проективного пространства называют его точками.
В случае, когда F имеет конечную размерность п, размерностью проективного пространства P(F) называют целое число п—1 и обозначают его dim^P (F) или dim P (F). Так, проективное пространство размерности —1 пусто, а проективное пространство размерности 0 сводится к одной точке. Проективное пространство размерности 1 (соответственно 2) называют проективной прямой (соответственно проективной плоскостью).
В дальнейшем рассматриваются только левые проективные пространства.
320 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2. Однородные координаты
Пусть F — векторное пространство размерности n-j-i над К, P (F) — порожденное им проективное пространство размерности п, (et)o^«gn— базис пространства Van — каноническое ото-
п
бражение V* на «Ьактормножество P(F). Если х= 2 Ііе» € F*, то
і=0
<|0, I1, ...,Sn) называют системой однородных координат точки я(х) относительно базиса (е{) пространства F. Таким образом, каждая система (Ii) л + 1 элементов тела К, которые не все равны нулю, есть однородная система координат некоторой точки из P (F) относительно (е4); для того чтобы две такие системы (Ii), (Ii) были системами однородных координат одной и той же точки из P(F) относительно одного и того же базиса (е4), необходимо и достаточно, чтобы в К существовал элемент кф 0 такой, что Ii = XIi для всех і (0<i<rc).
71
Если (et) — второй базис пространства F, причем = 2 Oij-Cj-
J=O
(0< і< п), и (Ii) — система однородных координат точки я (я) относительно базиса (е{), то для того, чтобы система (Ii) /г+1 элементов из К была системой однородных координат точки л (я) относительно базиса (et), необходимо и достаточно, чтобы в К существовало X^=O такое, что
^Ii = 2 IictJi (0<і<п).
j—О
В частности, при где Yi Ф 0 (0< i< п), Ii = ^IiYi,
где |х Ф 0.
Эти определения непосредственно обобщаются на случай бесконечномерного F.
3. Проективные линейные многообразия
Пусть W — векторное подпространство векторного пространства F; канонический образ множества PF* = W— {0} в проективном пространстве P(F), порожденном V, называется проективным линейным многообразием (или просто линейным многообразием,
з ПРИЛОЖЕНИЕ 111 К ГЛАВЕ П. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 321
если можно не опасаться путаницы); так как отношение эквивалентности Д (W) в W* индуцируется отношеннем Д (F), то проективное линейное многообразие в P (F), являющееся образом W*, можно отождествлять с проективным пространством P (W), порожденным W, и, следовательно, говорить о размерности такого многообразия. Линейное многообразие в проективном пространстве P(F), являющееся каноническим образом гиперплоскости из V (лишенной начала), называется проективной гиперплоскостью (или просто гиперплоскостью) этого пространства; если P(F) w-мерно, то гиперплоскости в P (F)— это его (и—1)-мерные линейные многообразия.
