Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, пусть N — проективное линейное многообразие, не содержащееся в бесконечно удаленной гиперплоскости, и R = -1
= n(N); RП Fj есть аффинное линейное многообразие в Ks х V вида (I)Xil/, где M — аффинное линейное многообразие в F; легко видеть, что N совпадает с аффинным линейным многообразием M, порожденным множеством ф (M).
2 1*
324 ПРИЛОЖЕНИЕ LII К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие .между аффинными линейными многообразиями из V и проективными линейными многообразиями из P (K3 х V), не содержащимися в бесконечно удаленной гиперплоскости; для того чтобы два аффиных линейных многообразия из V были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы порождаемые ими проективные линейные многообразия имели одно и то же пересечение с бесконечно удаленной гиперплоскостью (что иногда выражают, говоря, что рассматриваемые два аффинных линейных многообразия имеют одни и те же бесконечно удаленные точки).
5. TIродолжение рациональных функций
Применение результатов п° 4 к одномерному векторному пространству V-Ks показывает, что существует его каноническое вложение ф в проективную прямую P1 (К)-— P (Ks X Kf)-, ф(|) для каждого К есть точка с однородными координатами (1, ?) относительно канонического базиса (§ 1, п° 8) произведения KsX Ks. Дополнение к ф (ZsT) в P1 (К) сводится к точке с однородными координатами (0, 1) относительно указанного базиса, называемой «бесконечно удаленной точкой». P1 (К) называется также проективным телом, ассоциированным с К, и обозначается К, а его бесконечно удаленная точка обозначается со.
°Рассмотрим, в частности, случай поля К, и пусть f ^ K(X) — рациональная дробь от одной неизвестной над К (гл. IV, § 4); / однозначным образом представляется в виде f =(OLp)/q, где а?К*. а р и q — взаимно простые унитарные полиномы (гл. VII, § 1); пусть т и л—их степени и, скажем, лг<и. Положим P1(T1X)-
— Т'1р (Х/Т), q1(T,X)=T‘lq(X/T); P1 и однородные полиномы степени п над К такие, что р (X)=P1 (X, I), q (X)= q{ (X, 1). Для каждого элемента ?,?К, не являющегося нулем полинома q(X). / (?)=ар (?)/g (?) определено, и можно написать
f(l) = aPl(I, ?)/?1(I, l) = aPl(X, Xl)/q, (X, XI), каково бы ни было ХфО из К. Рассмотрим тогда отображение
(її. ?)-»(?! (Л> ё), OjP1(I), I))
произведения K2 в себя; это отображение согласуется с отношением эквивалентности Д (К2) и, следовательно, порождает при
г, ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ И. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 325
факторизации отображение / проективного поля К в себя, совпадающее с >/(|) в тех точках, где эта рациональная функция определена; допуская вольность речи, / называют каноническим продолжением f т:а К.
Например, если / = 1/Х, то /(0) = со и /(со)=0; если / —
— (aX-r Ь)/(сХ-\-(I), где ad— ЬсфО, то /(--с//с) = ос, /(со) = а/(\ если с=у- 0, и /(со) =оо, если с = 0. Для полинома /=. e„Xn-f . .. +а,, степени п > О имеем /(оо) = оо.0
6. Проективные отображении
Пусть F и F' — левые векторные пространства над телом А,
-і
/—•линейное отображение F в F' и iV--= / (O) — его ядро. Очевидно, при этом отображении (однородная) прямая пространства V, не содержащаяся в N, переходит в (однородную) прямую пространства F'; поэтому при факторизации / порождает отображение g множества P(F)—P (N) в P (F'). Это отображение g называется проективным отображением (или проективным линейным отображением)', хотя оно определено на P(F) — P(iV). а не (при #=?{0}) на всем P(F), допуская вольность речи, говорят, что g есть проективное отображение P (F) в P (F'). Проективное линейное многообразие P(Ar), на котором g не определено, называется центром отображения g.
Заметим, что в случае, когда g определено на всем P (У) (т. е. когда 7V = {0}), g есть инъекция P(Tz) в P(F').
Если в F и F' заданы соответственно базисы (а%)^ъ и (Jll)flJju, проективное отображение g пространства P (F) в P (F') относит точке из P (F) с однородными координатами (X^L) точку в P (F'), обладающую системой однородных координат т]м (ц g М) вида
Tlft=J^axft (akll?K). (3)
X?L
Центр отображения g есть линейное многообразие, определяемое уравнениями
326 ПРИЛОЖЕНИЕ TH К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если С — центр отображения g и M — линейное многообразие в P (F), то образ M — (М[^С) при отображении g есть линейное многообразие в P(F'), которое(допуская вольность) обозначают g(M). Имеем
dim^-g (Л/) = dimvl/ — dim (.1/ {~jf) — I, (4)
если числа, фигурирующие в этой формуле, определены (§ 3, формула (5)). Если M' — линейное многообразие в P (F'), то
-I
g[(M'){]C есть линейное многообразие в P(F), и
dim Ig1(Mt) U С) = dim С J- dim (M' f\g (Р (F))) -f-1. (5)
- I
Допуская вольность речи, говорят, что g (M')(JC есть прообраз M1 относительно g.
Так как значения из F', принимаемые линейным отображением на базисе (et) пространства F, могут выбираться произвольно, то заключаем, что существует проективное отображение P(F) в P (F'), принимающее в точках я (et) произвольно заданные значения. Ho (даже когда g всюду определено) задание ’^элементов g(rt(et)) не определяет g однозначным образом (упраж-пение 3).
