Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Sf
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ
337
(гл. II, § 1, п° 5) элементов из ф (Е X F)\ в этом случае линейное отображение g, для которого / = go ф, однозначно определяется билинейным отображением /. Покажем, что если такой модуль M существует, то он определен с точностью до изоморфизма однозначно; говоря точно, имеет место
Предложение 3. Пусть Mi (і —1,2) —два A-модуля и ф; для каждого і —билинейное отображение ExF в Mi, обладающее следующими свойствами'. 10Mi порождается множеством ф; (Е X 2° для каждого билинейного отображения f произведения ExF в произвольный А-модулъ N существует линейное отображение gi модуля Mi в N такое, что / = gi о ф4. При этих условиях существует изоморфизм и модуля M1 на M2 такой, что ф2 = и о фх.
Действительно, беря в качестве N модуль M2, видим, что существует линейное отображение Ii1 модуля M1 в M2 такое, что ф2 = = A1 о ф1; и точно также существует линейное отображение A2 модуля M2 в M1 такое, что фх = Zt2Oф2; отсюда фх = (A2O^1) о ф1; где А2° Ai-линейное отображение M1 в себя; но так как (Q1(ExF) порождает M1, то из последнего соотношения вытекает, что Z — A2(A^z)) для каждого Z^M1, иными словами, A2OA1 есть тождественное отображение M1 на себя; совершенно так же A1OA2 есть тождественное отображение M2 на себя; следовательно (Теор. мн., Рез., § 2, п° 12), A1 есть взаимно однозначное отображение M1 на M2, a A2-обратное ему отображение.
Покажем теперь, что модуль М, удовлетворяющий требуемым условиям, действительно существует. Рассмотрим Л-модуль G=A(EXF) формальных линейных комбинаций (с коэффициентами из А) элементов множества E xF (гл. II, § 1, п° 8); как мы знаем, канонический базис этого модуля можно отождествить с множеством ExF так, что каждый элемент из G будет однозначно представляться в виде У aXi u (х, у) (где aXt у принадлежат А и равны
(х. y)?BXF
нулю для всех кроме конечного числа пар (х,у)).
Пусть теперь N — произвольный Л-модуль; как мы знаем (гл. II, §2, п° 4), каждое отображение / множества ExF в N может быть, и притом единственным образом, продолжено до линейного отображения / модуля G в N, а именно определяемого 22 н. Бурбаки
338
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, і і
формулой
/(2?, V (Ж’ ^)) = S <**. у / (*> У)-
X, у X, у
Отображение /—>/ есть изоморфизм модуля Nexf всех отображений ExFbN на модуль X (G, JV) линейных отображений GbN. Охарактеризуем линейные отображения /, соответствующие билинейным отображениям / произведения E X F bN; условия (1) и (2) означают, что линейная функция / обращается в нуль на всех элементах из G видов
(х, У + У') — (ж> У) — (ж. У'), (ж + ®'. У) — (ж. У) — (*'. У).
(аж, у) - а (ж, г/), (ж, ау) - (ж, у).
В силу своей линейности, 7 равна нулю также для всех элементов подмодуля, HbG, порожденного элементами указанных видов, причем этот подмодуль не зависит от vV; допуская вольность речи, мы будем называть H подмодулем в G, на котором аннулируются все билинейные функции. Итак, образом модуля X (Е, F; N) билинейных отображенийE xF bN при изоморфизме/—>7 служит подмодуль в X(G,N), образованный теми линейными отображениями GbN, которые аннулируются на Н. Ho тогда (гл. II, § 2, предложение I) g—»g°0, где 0 — каноническое отображение G на G/Я, есть изоморфизм X(G/H,N) на подмодуль в X(G,N), образованный линейными отображениями, аннулирующимися на Н. Таким образом, обозначая через ф сужение 0 на ExF, видим, что каждое билинейное отображение ExFbN однозначно представляется в виде go ф, где g — линейное отображение GjH в N, причем g—>g° ф есть изоморфизм X(G/H, N) на Х(Е, F; N) (который, как и обратный ему изоморфизм, мы будем называть каноническим).
Так как ф — билинейное отображение ExF в GlH, а ф (ExF) порождает G/Н, то модуль M = G/H и отображение ф удовлетворяют всем условиям предложения 3. Для каждой пары (х,у)?Е х F мы положим отныне ф (ж, у) = ж0У (вместо чего будем иногда допускать также запись ху, если это не сможет вызвать путаницу).
Определение 3. Пусть EuF — A-модули. А-модулъ G/H (фактормодуль модуля G формальных линейных комбинаций элементов произведения ExF по подмодулю Н. на котором
2
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ
339
аннулируются все билинейные функции) называется тензорным произведением модулей EuFu обозначается EgF.
Допуская вольность речи, ли будем каждый элемент из EgF вида xgy называть тензорным произведением х и у. Имеем тождественно
(o:Jrx')gy = xgy + :i'gy, JLtg(y + y') = xgy + xgy', (3) (ax)gy = xg(ay) = a(xgy) (4)
и, в частности, .г0О = Qtgy = 0, каковы бы ни были х?Е и y?F.
Любой элемент из EgF может быть (в силу (4)) представлен в виде 2(жі&Уі) и’ значит, является суммой конечного числа
г
тензорных произведений элементов из E и F; но, как показывают тождества (3) и (4), элемент из EgF представим в таком виде вообще различными способами.
Замечания. 1) Пусть E и F — коммутативные группы без операторов; пх всегда можно рассматривать как модули над кольцом Z рациональных целых чисел (гл. II, § I, n° 1); под тензорным произведением EgF двух таких групп всегда понимается произведение их структур Z-модулей.
