Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
333
поскольку
(1+Y) ?ау -Yl (I-Y) (2)
для каждого ? ? К с ф\. [Применить (1), заменив | па |2.] Заметив, что ? = г) — Z,, где х\а ф г) и ф %, распространить (2) на все \ 6 К. Заключить отсюда, что уф 1, и далее вывести из (1) иі.(2), что
= (4 ,-Y) I (H-Y)'1 (3)
для всех Ki и что Y4 Y-1 принадлежит центру тела К. Обращение. Привести пример, где Y не принадлежит центру тела К, a Y+Y-1 принадлежит.
ГЛАВА III ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Там, где не оговорено противное, все кольца операторов, рассматриваемые в этой главе (за исключением Приложений), предполагаются коммутативными и имеющими единицу, а все модули над этими кольцами — унитарными. Всякие дополнительные предположения явно отмечаются в своем месте, а если они относятся ко всему параграфу — в его начале.
1. Билинейные функции
Определение 1. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и Е, F, G — унитарные A-модули. Отображение f произведения ExFeG называют билинейным, если для каждого у ?F частичное отображение x—^f(x, у) есть линейное отображение E eG идля каждого х?Е частичное отображение y—>f(x, у) —линейное отображение FeG.
Иными словами, / должно удовлетворять следующим тождествам:
§ 1. Тензорные произведения модулей
/(^ У+ у') у) + 1(х, у')- j
f(x + x’, y) = J(x, y) + f(x’. у), )
f (а .г, у) — / (х, а у) = а/ (х, у)
(1)
(2)
для всех сс$А, х?Е, х’?Е. y?F, y'?F.
Примеры. Отображение (г, у) -> ху произведения AXA в А билинейпо; то же верно в случае, когда E — алгебра (гл. II, § 7) над А, для отображения (х, у) -> ху произведения EXE в Е. Каков бы
I
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ
335
ни был унитарный Л-модуль F, (а, х) "-* ах есть билинейное отображение AXF в F.
Из определения 1. в частности, вытекает, что/(0,y)=f(x,Q)=0 для всех х ? E и у ?р.
Если у — 2 то (как устанавливается индук-
K и
цией по числу ненулевых коэффициентов ¦%)
/ (*'* у) =Y IxW К, Ю-
X, ц.
В частности, если (а>) — базис модуля E, (Ьд) — базис модуля F, то для любого заданного семейства (с^) элементов из G существует, и притом единственное, билинейное отображение / произведения ExF в G такое, что / (а%, Ъд) = с\^ для каждой пары индексов (X., р,).
Ясно, что если / и g— билинейные отображения ExF в G,
то fg и а / (а ? ^4) — тоже билинейные отображения ExF в G; иными словами, билинейные отображения ExFbG образуют А-модулъ\ мы будем обозначать его Х(Е, F; G) или (Е; G), ЄСЛИ F = E. Из Предыдущего СЛедуеТ, ЧТО ЄСЛИ (flx,)x?L И (ЬДіЄЖГ — базисы модулей E и F, то ^-модуль (is, /1; G) изоморфен произ-
ведению Glxm.
Предложение 1. Модуль Х{Е, F; G) билинейных отображений ExFeG изоморфен модулю X (Е, X (F, G)) линейных отображений модуля E в модуль линейных отображений F в G (а также аналогичному модулю X (F, X (Е, G))).
Действительно, у—>и(х, у) для каждого и?Х(Е, F; G) и каждого х?Е есть линейное отображение .FbG; если обозначить его их> то х—*их будет линейным отображением Ев X (F, G). Обратно, каково бы ни было линейное отображение х—.>fx модуля E в X (F,G), (х, у)—>fx(y) есть билинейное отображение ExF в G, и, обозначая его и, имеем ux=fx для каждого х?Е. Ясно, что этим определены изоморфизм X (E, F; G) на X (E, X (F, G)) и изоморфизм, ему обратный; эти изоморфизмы будут называться каноническими.
Определение 2. Каждое билинейное отображение произведения ExF унитарных A-модулей Е. F в кольцо А (рассматриваемое как A-модуль) называется билинейной формой на ExF.
336
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III. § 1
Согласно предыдущему, билинейные формы на E X F образуют Л-модуль X (Е, F; А); причем, если E обладает базисом («>.)>.?? п F — базисом то этот модуль изоморфен Ahxu. Кроме
того, из предложения 1 вытекает:
Предложение 2. Модуль билинейных форм па ExF изоморфен модулям X (E, F*) и X (F, E*) (где Е* и F* означают модули, сопряженные соответственно к E и F).
Следствие. Пусть и —билинейная форма на E х F\ если EuF обладают конечными базисами (aji^i^n и Ibi)состоящими из одинакового числа элементов и такими, что u(at, ?>,¦) = Sij- (где Sij-— кроиекеровский символ) для каждой пары индексов (i, j), то и канонически соответствует некоторому изоморфизму E на F* и некоторому изоморфизму F на Е*.
Действительно, тогда линейное отображение х —> Ux модуля E В F*, канонически соответствующее U, таково, ЧТО Uai = b'. (1< ї<?г), где (b’i) — сопряженный к (Ьг) базис модуля F* (гл. II, § 4, п° 4).
2. Тензорное произведение двух модулей
Мы увидим, что понятие билинейного отображения можно с помощью понятия тензорного произведения свести к понятию линейного отображения.
Покажем, что для заданных унитарных А -модулей EnF существуют Л-модуль M и билинейное отображение ср произведения ExF в M такие, что, каково бы ни было билинейное отображение / произведения ExF в произвольный /1-модуль N, существует линейное отображение g модуля M в N, удовлетворяющее соотношению / = g О ср.
Заметим прежде всего, что если M обладает этим свойством, то им обладает также подмодуль M1 в M, порожденный множеством (Е X F) (для чего нужно только рассмотреть сужение g па Л/,); поэтому достаточно ограничиться тем случаем, когда дополнительно требуется, чтобы M порождалось множеством <p(ExF), т. е. совпадало с множеством всевозможных линейных комбинаций
