Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Гі = Гз = • • • = T2k = а, T2 = T4 = --- = r2k=?.
Этот случай сводится к предыдущему при помощи замены
х2к = ?x2h, Х2к+1 = ах2к+1.
Замечание 1. Интегрируемыми являются также системы вида
т 'ш
Xi = Xi xi+h - Яі-к) ¦ к=1 к=1
при произвольном га а.
Квадратичная скобка в этом случае имеет вид {хі+і,Жі} — Жі+іЖі,... , {жі+m, хі} = XiJrmXi. Представление Лакса Гейзенберга со спектральным параметром приведено в [18].
Квадратичные алгебры, определяемые структурным тензором (4.2), не исчерпывают всех возможностей гамильтоновой записи системы (4.1) при соответствующих ограничениях на матрицу Ца^-Ц. Так, в § 5 гл. 1 был рассмотрен восходящий к С. В. Ковалевской пример трехмерной системы типа (4.1), допускающий представление в виде уравнений Гамильтона на трехмерной алгебре Ли.
Изложим, с некоторыми модификациями, другую конструкцию, предложенную в [18, 48], приводящую к кубической зависимости структурного тензора от фазовых переменных.
2. Кубичная скобка Пуассона. Рассмотрим гамильтонову систему вида
п „ п
fc = E^aP я = lnI№ (4-6)
i=l 3 J=o
определяемую постоянным кососимметрическим тензором WlHjW и постоянным вещественным вектором (ко-... ,кп). Sj^. Гамильтонова динамика систем Вольтерра 377
Введем избыточные координаты уц = UiUj, (і ф j), где <ц = fr"1 (при этом yij = Ун). Скобка Пуассона переменных yij может быть записана в виде
{ijij, Vki} = 'Uijykiiltjiyji + PjkVjk + Ри'Уи + IHkVik)- (4.7)
Она является вырожденной и обладает двумя наборами центральных ФУНКЦИЙ. ПерВЫЙ Набор ОбуСЛОВЛеН ИЗбыТОЧНОСТЬЮ Переменных yij. Действительно, формулы обратного перехода от переменных уц к переменным (ik имеют неоднозначный вид
а2 = ШіШ (48)
Vjk
для произвольных j,k Є N. Соотношение (4.8) для п(п — 1)/2 переменных yij порождает п(п — 3)/2 центральных функций вида
Fi = 'UijykiyimVTmVii1Vju-Во второй набор входят аннуляторы пуассоновой структуры ||/%||. Они
п
имеют вид Y aA, где a. = (c*i,... , ап) — собственный вектор матри-»=і
цы II,Xijll, соответствующий нулевому собственному числу.
Гамильтониан системы (4.6) в новых переменных может быть представлен в виде
H = ^nijInyij, (4.9)
где числа 2iiij представляют собой линейные комбинации чисел ki из (4.6) с целыми коэффициентами.
Как несложно проверить непосредственно, гамильтонова система со скобкой Пуассона (4.7) и функцией Гамильтона (4.9) представляет собой частный случай системы (4.1). Например, в случае ?ij ф 0 для любой комбинации і и j в переменных Xij = Pijyij эти уравнения имеют вид [18]
X{j — Xi
п
(J2k^is+Xjs)). (4.10)
ч
4S=O
Если какие-либо цы = 0, то соответствующий набор условий Xki = 0 задает систему инвариантных соотношений для уравнений (4.10). 378
Глава Ji
Ограничение потока на эти инвариантные соотношения также будет гамильтоновым на подалгебре алгебры скобок Пуассона (4.7), соответствующей тем Uij, для которых Hij ф 0.
Обычная периодическая цепочка Вольтерра (4.5) при дополнительном условии Tj = 1, г = 1,... ,п, получается от (4.10), если отличны от нуля лишь ?i:i+i. Переход к переменным (4.5) задается уравнениями хк = хк;к+1.
Уравнения (4.10) на инвариантных многообразиях xki при ограничениях па коэффициенты fcj эквивалентны интегрируемым цепочкам Богоявленского (4.14) (см. далее). Интересно было бы изучить условия интегрируемости общей системы (4.10) с помощью метода Ковалевской.
3. Интегрируемые цепочки, связанные с простыми алгебрами Ли. Пусть Wi,... ,Wn — набор простых корней некоторой простой алгебры Ли g (коалгебру будем обозначать д*). Дополним его элементом wо = —П, где ГЇ максимальный корень, то есть такая линейная комбинация
ГЇ = fciWi... fcnwn, к{ > 0, і = 1,.... п,
для которой ГЇ + ZiWi + • —Ь InWn не является корнем при любых Ii ^ 0.
Для пополненного набора выполняется соотношение
fcoWo + • • • + fc„w„ = О, ко = 1, ki > 0, г = 1,... , п. (4.11)
Корням W0,... ,Wn — соответствует пополненная схема Дынкина [18].
С помощью формы Киллинга поставим в соответствие корням u>i (w; Є 0*) элементы алгебры еШі Є 0 и определим на g* постоянную скобку (скобку сдвига аргумента) (см. § 10 гл. 2)
{f,g}a={a,[df,dg}), (4.12)
где (•, •) — скалярное произведение, задаваемое формой Киллинга, а элемент а Є 0 определяется по формуле
п
а = т^[ешпеш.], rriij = const. (4-13)
і,j=o
В этом случае пространство функций, определенных на линейной оболочке корней Wo,... ,w„, является замкнутым относительно скобки (4.12). Гамильтоново, динамика систем, Вольтерра
379
О.И.Богоявленским было показано, что гамильтонова система со скобкой (4.12) и гамильтонианом
п
H = (где k{ определяется уравнением (4.11)) (4-14)
допускает представление Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром А вида
L = A^bjeu,,. + ^E тіЛеШі,еШі
і=О
ij=0
А = А$>Ь< 1Cwi.
«=0
То есть системы (4.14) со скобкой (4.12) являются интегрируемыми случаями системы(4.6).
Для алгебры An явный вид матриц следующий
/ 0 Abi Wi2
О Ab2 To2 з
