Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Xi = \fM~iT cos ip X2 = -Jm2T SlIl^
и перейдем к каноническим переменным в системе центра масс (R = 0)
п?
(3.16)
где
В(<р) =~
V2
gl 2
* , , _ TO3
Mi h ^ т2 + шз
Siz
SlIl ip
M2 т2
— cos ip +---sin ip
Mi г т, 2 + то з ^
g23
sin2 ip
/
Система (3.16) может быть проинтегрирована методом разделения переменных. Ее траектории определяются уравнением
dr
dip
av - 2В(<рУ
где Otip — константа разделения, E — полная энергия.
В случае совпадения масс To1 = rn2 = то,3 = 1 и констант взаимодействия gi2 = gi з = g23 = I5 функция В не зависит от ip. В этом случае задача остается интегрируемой также для потенциалов взаимодействия типа V = rk, к = 1, 2, 4. Неинтегрируемость систем при других к обсуждается в [339]. Sj^. Гамильтонова динамика систем Вольтерра
373
Вследствие разделения переменных система (3.15) обладает дополнительным (кроме циклического, связанного с инвариантностью отно-
сительно трансляций) квадратичным интегралом. В случае , он имеет вид [253]
= rriirrij
G = 2 ( ?)тпі(® - <1G)' j—і
(.Pi - Pg)2 ГГЬі
+
т,іт
7ҐІ (?-SfXJ
з
E
і=1
QiPi - QgPG
(3.17)
где qG =
S тіЯі
координата центра масс, pg = Y Pi постоянная
циклического интеграла. Этот интеграл допускает непосредственное
обобщение на задачу четырех масс mi, ... . т4 на прямой, взаимодей-
TniTnj
ствующих с потенциалом ^ -2 ПРИ Условии теі = те4 = I5
IsCjcjsC 4 (? - Qj)
тп2 = газ = т [253]. Однако для полной интегрируемости этой системы недостает еще одного интеграла, который пока неизвестен.
§ 4. Гамильтонова динамика систем Вольтерра
1. Системы Вольтерра и квадратичные скобки. Рассмотрим пример из математической биологии, связанный с анализом ситуации хищник—жертва [49], в котором естественно возникают квадратичные и кубичные скобки Пуассона.
В гл. 4 был рассмотрен частный случай трехмерной системы Лотки—Вольтерра. который оказался изоморфным интегрируемой задаче о движении трех точечных вихрей. Более общие однородные п-мер-iibie системы Вольтерра могут быть записаны в виде
:i-i = Xi ( аИхз ) • « = 1, • • • , Щ (4.1)
7 = 1
Фамилия Лотки в таком общем случае обычно отбрасывается, так как обширное исследование многомерных систем (4.1) было выполнено в фундаментальной работе [49]. 374
Глава Ji
где А = Ilaijll — произвольная и,-мерная матрица. Отметим, прежде всего, что уравнения (4.1) сохраняют инвариантную меру с плотностью
п
та(х) = Их?'1
г=1
тогда и только тогда, когда существует такой вектор а. что Ата = = — diag(A), где diagA = (оц,... ,Onn). Исследование гамильтоповос-ти систем (4.1) выполнено в [304]. Однако, результаты этого анализа не являются окончательными.
В [304] разобраны частные случаи системы (4.1), представимые в виде уравнений Гамильтона со скобкой Пуассона, задаваемой квадратичным структурным тензором вида
— CijXiX j. (4.2)
Легко проверить, что тождество Якоби для тензора (4.2) выполняется тогда и только тогда, когда матрица ||с^|| кососимметрическая. Это также следует из возможности приведения структурного тензора (4.2) к постоянному координатным преобразованием Xi = в"'.
Центральными функциями структуры (4.2) являются выражения
вида
и, п
Ea'(или П<')' І = 1 і-1
где a = (qi,... ,а„) — собственный вектор матрицы ||cjj||, соответствующий нулевому собственному числу.
В качестве гамильтонианов, порождающих па скобке (4.2) уравнения (4.1), в [304] рассмотрены следующие функции
п
l.H = YJ?i*i, ?i Є К, (4-3)
i-1 п п
2-Я = П<'(ЕВі4 at, Bi (4.4)
t=i г=і
В первом случае (восходящем к Вольтерра [49]) гамильтоновы уравнения сводятся к (4.1) без замены времени, во втором случае необхо-
п
димо ввести повое время dr = П x"'dt (это преобразование приводит,
І—1
вообще говоря, к потере гамильтоновости). Sj^. Гамильтонова динамика систем Вольтерра
375
Составляя уравнения движения с гамильтонианом (4.3) и сравнивая их с (4.1). можно заметить, что должны выполняться соотношения
_ ^ij _ Qji _
Cij = J~j=~Ti= ~Cji-
Это условие заведомо выполнено для систем, описываемых уравнениями
Xi — Xi — \) і — 1,
(4.5)
В непериодическом (жі = Хп+1 = 0) и периодическом (Xi+n = Xi) случаях. Например, в периодическом случае матрицу ||c,;j|| можно представить в виде
/ 0 T1T2 о
-ГіГ2 о Г2Г3 -г2г3 о
V ГіГп о
-ГіГ„ \
о Г„_іГ„ -IV1I1n о
а гамильтониан Я = ^ Ti »=і
Структурный тензор Jij в этом случае является вырожденным и имеет функции Казимира: при п четном (га = 2к)
^i = IKis h = Uх2?ї,
і—1
при п нечетном (п = 2к + 1)
П'! ¦
»=1
Вследствие существования этих функций Казимира, система (4.5) является вполне интегрируемой при га ^ 4 и любых Г,. Отмстим также, 376
Глава Ji
что она всегда обладает n-мерным интегральным инвариантом с плот-
п
ностью Д X1"1. При Гі = Гг = • • • = Г„ система (4.5) является интег-«=і
рируемой для любой размерности. Для нечетного п = 2к + 1 полный набор инволютивных интегралов найден комбинаторными методами в работе [252]. а представление Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром без ограничения на четность п приведено в [18]. При п = 2к система (4.5) также интегрируется, если
