Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
?-z Jo = Ji, • • • , ?zJk = Jk+1) • • •
Мастер-симметрии для цепочки Тоды могут быть получены из уравнения [228]
[Z, [Z,XH]]= О,
где Хн гамильтоново векторное поле.
Для цепочек, определяемых простыми алгебрами, в работе [195] получено представление в виде градиентного потока, из которого следует возможность матричного описания в виде двойного коммутатора
L = [L, [L,N]], где N постоянная матрица.
5. Релятивистские цепочки Тоды. Релятивистское обобщение систем типа Тоды предложено Русенаром (Ruijsenaars) [314]. Гамильтониан п-частичпой цепочки в канонических переменных может быть представлен в форме
п
H = Y ep,v(qi-i - qi)v(qi - qi+1), i=l
(2.13) 366
Глава Ji
где v(x) = \/l + g2ex, g = const. Для периодической цепочки необходимо положить qn+i = ?1, а для незамкнутой — Qo = —ос, qn+i = оо.
Уравнения движения системы (2.13) после замены (ц н+ сц + с и предельного перехода с = 1/g —> оо переходят в уравнения движения обычной цепочки Тоды.
Переменные, аналогичные переменным Флашки (2.2), в данном случае, могут быть выбраны в виде [211, 228]
Ck = gV'-"+!+Piv(H-I-lIi)
v(qi-qi+i)' г = 1,...,п. (2.14)
hi = ePiv{qi-1 - qi)v(qi - %+i) - Щ,
Ограничимся рассмотрением непериодической цепочки, поэтому положим on = 0. Скобка Пуассона в новых переменных (2.14) получается однородной и квадратичной
{oj,oi+i} = OjOj+i, {ai,bi} = -афі, {ai,bi+i} = афг+1, (2.15) а гамильтониан становится линейным
п
н = + щ). (2.16)
Z=I
L — А-пара для периодической и непериодической цепочек найдена в [211]. В работе [228] показано, что незамкнутая релятивистская цепочка Тоды помимо скобки (2.15) допускает еще две согласованные пуассоновы структуры (линейную и кубическую). Приведем соответствующие скобки и гамильтонианы.
Линейная скобка:
{ai7bi} = -Cii, {ai, Ьі+і} = Oj, {bi,&j+i} = -аІ7
функция Гамильтона:
-^n n
H = - ^ (а» + &i)2 + E a*(?i+i + bi+i). i=1 i=l
Кубичная скобка:
{oi,oj+i} = a-Oi+i + OjO?+1 + 2aiui+ibi+i {ai, ai+2} = «і«,;+ia,;+2, {к, bi+1\ = а»Ь;'>г+1,
{ai, bi} = -aibi(ai + bi), {ai, &j+i} = ОА+І(яі + Ь»+і), {ai,bi+2} = (чаі+\Ьі+2, {^i+i-bi} = — OjOj+i&i, jj 3. Системы Калоджеро—Мозера
367
гамильтониан:
п
H = Е(|т| Iin - 1п«п).
г=1
Обобщенная релятивистская цепочка Тоды для различных корневых систем, насколько нам известно, не рассматривалась.
§ 3. Системы Калоджеро—Мозера
Рассмотрим систему п потенциально взаимодействующих между собой частиц на прямой. Функция Гамильтона в канонических переменных (р, q) Є К2" может быть представлена в форме
N
H= i(p,p) + $>M(ai,q)), (3.1)
ї—1
где (•, •) скалярное произведение в I", q — вектор (?,... ,qn) координат частиц, a Cti — произвольные векторы из К™. Случаю периодической цепочки с взаимодействием ближайших соседей соответствует O1 = (1,-1,0,... ,0), а, = (0,1,-1,... ,0),... ,ап = (-1,0,... ,1). Если v(x) = е~ах, то система (3.1) описывает обобщенные цепочки To-ды.
В [212] (1971 г.) Калоджеро, исследуя квантовую задачу п тел на прямой, высказал предположение об интегрируемости цепочки (3.1) с потенциалом
v(x) = \ +OJ2X2, gi = g, і = 1, ... . ЛГ, N = n(n -1)/2. (3.2)
X
и попарным взаимодействием всех частиц (в отличие от цепочек Тоды, где взаимодействуют только ближайшие соседи)
п п
н = і +^E -?)- (3-3)
J = I І Ci
її
Замечание 1. В системе центра инерции (J^ qt — 0) система (3.3) с потенци-
i=i
алом (3.2) при gi = 1 может быть представлена в форме
І=1 Kj № ІЗ) і=1 368
Глава Ji
Для задачи на окружности аналогичный потенциал был указан в [323]
v(x) = (3-4)
Sin x
Доказательство интегрируемости этих систем методом построения L — А-пары дано Мозером [294] (см. ниже). С помощью указанного в [294] анзатца для представления Лакса Гейзенберга найдены также интегрируемые потенциалы вида [137, 213]
vW = (3-5)
Sll x
v(x) = Т(х, LJ1-LJ2), (3.6)
где V — функция Вейерштрасса с периодами 2ci>i и 2uj2, которая при бесконечном увеличении периодов может быть приведена к любому из потенциалов (3.4), (3.5) и (3.2) при lj = 0.
Замечание 2. Для цепочек (3.2), (3.4)-(3.6) с гамильтонианом (3.3) понятие замкнутости, введенное для цепочек Тоды (§1 гл. 5), теряет смысл, так как все частицы взаимодействуют между собой. Потенциалы (3.4), (3.6) являются периодическими функциями, поэтому система эквивалентна цепочке па окружности и все траектории ее финитны. Для потенциала (3.5), напротив, частицы асимптотически свободны при t —> сю, в связи с тем, что потенциал спадает в обе стороны х —? ±оо. Для цепочки (3.2) при W = O частицы также разбегаются, а при ш / 0, в системе центра инерции (^2 Ф = 0) все траектории ограничены.
1. Представление на квадратичной алгебре. Предположим, что векторы Ot1, ... , Ctn образуют базис в пространстве К™, представим систему (3.1) с потенциалом (3.2) при lj = 0, в новых избыточных переменных
bi = (?{, р), ак = —±— I=I,... ,п, k = l,...,N. (3.7) (a:k,q)
Здесь P1,... ,?n дуальный базис в Kn: (Oti, ?j) = (см. §1 гл. 5). Векторы а.к при к > п выражаются через базисные по формуле
