Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
17^11-1,71
\ Xbn тп,In
О \
'Ша-2,п-1 Xbn-X
О /
(4.15)
А =
/О О
Xb11 о
V О
A^1 0 /
хь-Л
о
4. Бигамильтоновость. Отметим, что система Вольтерра типа (4.5), интегрируемая при Г і = ••• = Г„, может быть записана в гамильтоновой форме как со скобкой Пуассона (4.2), так и со скобкой (4.7) — по классификации Картапа [8] она соответствует простой 380
Глава Ji
алгебре Ли An. В переменных Xi (4.5) квадратичная скобка (4.2) имеет вид (для периодической цепочки необходимо положить хп+1 = xi):
{Xi, Xi-Sri} — XiXi+.і, І — 1, ... , Tl,
а функция Гамильтона
п
H = YjXi-
«=і
Кубичная скобка (4.7) может быть представлена в форме
{Хі, Хі+1} = ХІХІ+І(ХІ + XiJrі), {Xi, XiJr2} = XiXiJrIXiJr2.
Соответствующий гамильтониан согласно (4.14) имеет вид
1 п H = - Y lnxi-i — = l
Эти две скобки являются согласованными, что позволяет установить полноту интегралов движения при помощи теоремы §5 гл. 1.
Бигамильтоново описание других интегрируемых цепочек Богоявленского, связанных с простыми алгебрами Ли, до сих пор, видимо, не получено.
Замечание 2. Системы Вольтерра. которые могут быть записаны в градиентной форме, изучались в работах [43, 302]. Вообще говоря, градиентная форма записи не противоречит гамильтоновости. Хорошо известно, что уравнения динамики точечных вихрей па плоскости допускают запись в обеих формах. Градиентная форма записи используется для исследования геометрии изоспектрального многообразия и связана с идеей двойного скобочного представления уравнений движения [195].
5. Метод r-матрицы. Общие замечания. Одним из способом доказательства интегрируемости, построения L — А-пары и явного решения, отмеченный в гл. 1 является метод »--матрицы. Он является обобщением более специальной схемы интегрирования, разработанной Адлером, Константом и Симсом (AKS-метод) и широко представлен в работах ленинградской математической школы [132, 139, 141, 146]. Sj^. Гамильтонова динамика систем Вольтерра
381
В обзоре [132] метод r-матрицы изложен в приложении к обобщенным цепочкам Тоды и римановым симметрическим парам, возникающим в многомерной динамике твердого тела. В этих случаях существование r-матрицы связано с определенной симметрией алгебры (соответственно, с разложением на прямую сумму алгебр g = g+ ® g-или картановским разложением g = H ® V, [Н, H] С Н, [Н, V] С V, [V, V] С H) и определяемой этим возможностью проектирования векторных полей. Для римановых симметрических пар метод »'-матрицы почти полностью эквивалентен конструкции, изложенной в § 10 гл. 2 и связанной с бигамильтоновостью интегрируемой системы. Отметим также, что r-матричное представление индуцирует несколько другую пуассонову иерархию на алгебрах петель [132].
Для цепочек Тоды квадратичная и кубичная пуассопова структура получена при помощи r-матричного подхода в [298] (см. также [275]). Общая схема возникновения квадратичных скобок из унитарных r-матриц была указана в [146] и связана с формализмом «групп Гамильтона Ли», изложенного В. Г. Дринфельдом [9].
В работе [322] рассматривается r-матричный подход в применении к системам Вольтерра, а в [184] построены динамические г-матрицы (с коэффициентами, зависящими от фазовых переменных) для систем Калоджеро—Мозера.
Тем не менее, отметим некоторые недостатки метода г-матрицы:
1. г-матрица не является тензорным инвариантом и не имеет прозрачного динамического смысла.
2. Решение «модифицированного» уравнения Янга Бакстера, определяющего r-матрицу, известного лишь в исключительных случаях (см. например, [132]).
Эти недостатки обуславливают, отчасти, то обстоятельство, что для нахождения r-матрицы надо использовать другие, более естественные способы обнаружения интегрируемости — метод явного построения L — А-пары при помощи подходящих анзатцев, метод проектирования и пр. Эта «вторичность» »'-матричного подхода приводит к тому, что интегрируемость новых систем им, как правило, не устанавливается. Примером могут служить обобщенные цепочки Тоды, цепочки Вольтерра (и обобщения Богоявленского). Для цепочек Калоджеро— Мозера вопрос об интегрируемости для всех корневых систем стоял почти два десятилетия, пока не был решен при помощи явных анзатцев [226]. Их r-матричное описание [192] оказалось настолько искусственным, что вполне показало ограниченность r-матричного алгоритма 382
Глава Ji
для решения конкретных задач. Аналогичная ситуация имеет место для бесконечномерной системы Хитчина [251], получающейся из расширенной свободной системы при помощи гамильтоповой редукции.
Несомненно, что изучение динамического (инвариантного) происхождения r-матрицы, имеющей пока только формально-алгебраическое содержание, и ее связи с другими конструкциями (например, бигамиль-тоновостью) является очень естественным. Это тем более необходимо для развития методов качественного анализа для многомерных систем, где существование дополнительных тензорных инвариантов приводит к реальным динамическим эффектам (см. [77]), которые совершенно не могут быть получены из комплексно-алгебраической процедуры интегрирования, развиваемой, например, в [309]. Приложение А Распознавание гамильтоновости динамических систем
