Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава Ji
Каца—Муди с учетом возможности существования в спектре интегрируемой системы сонаправленных векторов.
Вычисление показателей Ковалевской для обобщенных цепочек Тоды содержится также в работе [98]. Приведем эти вычисления для более общего случая, когда пс обязательно выполнены условия (г), (п), {in).
Возьмем частное решение Xj = Cijt, і = 1,... ,2п. При этом Ci удовлетворяют системе алгебраических уравнений
Ck + AiiaCiCl = 0. (1.14)
На частных решениях вида Ci+1 = — l/Cj,C;+i = giCf (г = 1,... ,п) получаем помимо тривиальных решений: р = —1,1,2 показатели Ковалевской:
(а», Qj) п 1П
P = 1- . (1-15)
(Формула (1.15) отличается от формулы, полученной в работах [176, 98] множителем 2 в силу другого выбора системы образующих
Для однозначности общего решения на конечнолистном накрытии комплексной плоскости времени [208, 240] и обобщенной алгебраической интегрируемости [176, 292] необходимо, чтобы р, определяемые (1.15), были рациональными. Требование целочисленности 2р при дополнительных ограничениях на семейство векторов Qj1,... ,CXn приводит к интегрируемым моделям, отвечающим простым алгебрам Ли и алгебрам Каца—Муди. Формула (1.15) справедлива также для индефинитной метрики в (1.1).
3. Индефинитные цепочки Тоды. Псевдоевклидовы цепочки возникают при исследовании космологических моделей в теории гравитации. К ним относится, например, миксмастерпая модель Мизпе-ра (см. например, [225]). Ее гамильтониан в канонических переменных (a,pa,?+,p+,?-,p-) имеет вид:
Н=\{-р1+р1+р2_) + \ы p(-4a)V(?+,?-), (1.16) где функция V(?+,?-) слагается из шести экспонент: V{?+,?J) =схр (-8/3+) + схр(4/3+ + 4V3/3-) +
+ ехр(4/3+ — 4\/3/3_) — 2ехр(4/3+) — (1.17) -2exp(-2?+ + 2Vs?-) -2exp(-2?+ -2y/Z?-). § 1. Обобщенные цепочки Тоды 357
Уравнения миксмастерной модели в координатах X,Y, Z,px,py,pz [225]:
Х=± схр(2(а + (5+ + у/3?_)), Г = і схр(2(а + ?+- y??-)),
Z = ^exp(2(a-2/9+)), (1.18)
Px
= ^(2Pa+р+ + л/зPy = ра +р+ - л/3р_),
(1.19)
Pz = |(Ра -P+) можно записать в квадратичном однородном виде
рх = 2 X(Y + Z-X), py=2Y(Z + X -Y), pz = 2Z(X + Y-Z), 2Х = Х(рх - Py - pz), 2Y = Y(py - pz - рх),
2Z = Z(рг - рх - ру).
С точки зрения физической интерпретации особый интерес представляет проблема, соответствующая пулевому уровню «энергии»: H = 0. В этом случае речь идет об условной (по Биркгофу) интегрируемости системы (1.19).
Уравнения (1.19) могут быть представлены как уравнения Гамильтона на прямой сумме двумерных алгебр Ли со скобкой {Х,рх \ = X, {Y,py} = Y, {Z,pz} = Z и гамильтонианом
H = \(РІ + Р\ + РІ) -](Рх+Ру +Pz)'2 +
(I.zUJ
+ 2(Х2 + Y2 + Z2) - (X + Y + Z)2.
Показатели Ковалевской миксмастерной модели для частных решений Xi = Cift і = 1,... , 2п равны [225]:
р = -1,1,1,2,2,2.
При этом кратные показатели имеют только простые элементарные делители, что не приводит к логарифмическому ветвлению. В этом 358
Глава Ji
смысле, с точки зрения метода Ковалевской, система (1.19) является подозрительной на интегрируемость. Однако, ни один из необходимых инволютивных дополнительных интегралов до сих пор не найден. В частности, не изучены условия компактности фазовых траекторий системы (1.19) и возможности существования периодических движений. Вообще, вопрос о физическом смысле интегрируемости системы (1.19) является сложным и допускает различные интерпретации в рамках теории гравитации.
Отметим, что приведенные в [209, 222] численные исследования системы (1.19) также не позволяют сделать однозначных выводов относительно регулярности или стохастичпости ее поведения. Бильярдная интерпретация поведения миксмастерной модели вблизи сингулярности приведена в [263].
Все результаты относительно интегрируемости обобщенной цепочки Тоды (1.1) получены в предположении, что скалярное произведение (•, •) является дефинитным. До сих пор не найдено ни одного общего случая интегрируемости псевдоевклидовой обобщенной цепочки Тоды. Это отчасти связано с тем, что техника корневых систем существенно связана с евклидовостью пространства и не допускает непосредственного обобщения на индефинитный случай.
4. Уравнения Эйлера—Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Ли. В заключение рассмотрим уравнения Эйлера— Пуанкаре на разрешимых алгебрах Ли для иллюстрации сложной структуры интегралов движения в простых гамильтоновых системах. В работе [69] указан класс разрешимых алгебр, для которых общее решение уравнений Эйлера—Пуанкаре ветвится на комплексной плоскости времени при любом выборе тензора инерции. Однако, в трехмерном случае это не препятствует интегрируемости уравнений движения.
В явном виде уравнения Эйлера—Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Ли имеют вид [84, 238]:
Mk = C1ikUJiMj
Mj=IiiUJi, г, j,= 1,2,3, (1.21)
где Iij — симметричный «тензор инерции». При этом
с13 - С31 ~ aJ С13 ~ С'зі ~ ?'. С23 = — С32 = Tj с23 = ~С32 =
(1.22)
Будем считать, что ao — ?7 ^ 0. В работе [238] показано, что в об- § 1. Обобщенные цепочки Тоды
359
щем случае решение уравнений (1.21) ветвится, и система не является алгебраически интегрируемой.
