Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
16 мики численности популяций различных взаимодействующих видов [23]. Для таких задач (в математической экологии) характерны притягивающие устойчивые режимы динамики. Наличие аттрактора в системе (2.6) обусловливает существование притягивающих режимов, что является важным для применений. В специальном случае а = 0, ? = G система (2.6) переходит в интегрируемую гамильтонову систему Вольтерра
ah = mah(ak+i — ah-i).
Собственные числа Xf матрицы L (2.2) в силу уравнений (2.1), (2.6) удовлетворяют уравнениям (см. (1.5))
Xi = Xi (аХ! + ?). (2.7)
Отсюда находим
Х\ = —t (1 - ехр (- 2?« + а))'1.
Система уравнений (2.7) имеет первые интегралы
F(Xu Xj) = ((«А? + ?) Af)/((>Af + ?) X\). (2.8)
Если параметры а и ? имеют одинаковый знак, то уравнение (2.7) имеет единственную особую точку Ai = O, которая при ? < 0 является притягивающей, а при ? > >0 — отталкивающей. Предположим, что ? > 0, ?/a =
= —X2. Тогда уравнение X = X(aX2jr ?) имеет две притягивающие особые точки X = ±х и одну отталкивающую X — 0. Собственные числа симметрической матрицы L вида (2.2) вещественны и симметричны относительно нуля. При п = 2к система (2.1), (2.6) имеет единственный аттрактор — орбиту Vh, отвечающую собственным числам Ai = .. .= Xh = K, Я*+і — ... = X?h = — х, единственную отталкивающую особую точку Qi = 0 и (к — 1) неустойчивых инвариантных подмногообразий — орбит Vj, определенных условиями
Ai — ... — Xj = х, А;+і ==... = Х21 =-—х,
taj+t = ... = Аг» = 0, К / sS к — 1.
Аналогично определяются инвариантные подмногообразия Vj при п = 2к+ 1, причем одно собственное число матрицы L — тождественный нуль.
Инвариантные подмногообразия Vj являются различными компонентами множества, определенного алгебраи-
2 О. И, Богоявленский 17 ческим уравнением
P(L) = aL3 + ?L = 0. (2.9)
Уравнение (2.9) в силу (2.2) эквивалентно системе уравнений
aakak+lak+2 = 0, aft(a(%-i + ah + afc+i) + ?) = 0. (2.10)
При a^O в силу первого уравнения (2.10) из трех последовательных величин CLi одна равна нулю. В силу второго уравнения (2.10) при ак?= 0 имеем aA-i + ак + ак+х — = — ?/a = х2. Поэтому на инвариантных подмногообразиях Vj система (2.6) распадается в одномерные уравнения вида
ah = ah(m — ко) (ак — к2), ak = ak(m — {к — 1)а) (х2 — ак).
Следовательно, все траектории системы (2.6) на подмногообразиях Vj стремятся к особым точкам, в которых выполнены соотношения (2.10) и af = 0 или a4 = х2.
II. Построим динамическую систему, допускающую операторное представление вида
L1 = ah\ + ?Lx + [L1, A1]. (2.11)
Предположим, что матрицы Li и Ai имеют только следующие ненулевые элементы:
Li« = /?;, Lu,i+i = Lii+i,» = с,-, Ац,і+і = —Ап+і.і = х,-. (2.12)
Уравнения (2.11) — (2.12) эквивалентны следующей системе алгебраических и дифференциальных уравнений:
ackch+1 + скхк+1 - хкск+1 = 0, (2.13)'
Ph= a (pi + Cft + CjU1) + ?j5ft + 2Ch^1Xh-! — 2ChXh, (2.14) ch = ch (a (ph + ph+1) + ?) + xh (pk - рк+1). (2.15 )
Решение системы алгебраических уравнений (2.13) определяется формулами
Xh = -(т + ka)ch. (2.16)
После подстановки этих формул дифференциальные уравнения (2.14), (2.15) принимают вид
Pk = api+ $Ph + (2т —(2ft—3) a) C2^1- (2m-(2ft+1) a) cl,
(2.17)
Cft = Cft ((те + (ft + l)(a ph+1 — (m + (ft — l)a) ph + ?). 18 Система (2.17) является негамильтоновым возмущением цепочки Тода, в которую она переходит при а = О, ? = 0.
Собственные числа Xi матрицы Li в силу уравнения (2.11) удовлетворяют уравнению
k = M«bf+?). (2.18)
Поэтому динамическая система (2.17), эквивалентная уравнению (2.11), (2.12), (2.16), имеет первые интегралы
F(К Xj) = ((«*< + Р)Я.,)/((оЛ,+ ?)M. (2.19):
Уравнение Я = Я('оЯ+Р) имеет две особые точки Я = О и X = — ?/a = o. Пусть ?>0; тогда особая точка Xi = G является притягивающей. Динамическая система (2.17) имеет единственный аттрактор, которым является притягивающая особая точка ри = о, ch = 0.
Уравнение aL\ + ?Lj = О определяет инвариантные подмногообразия системы (2.17) и сводится к системе уравнений
achck+1 = 0, a (pi +C2h + C2k^1) = — $ph,
ck(a(Pk + pk+1) +^) = 0. (2.20)
В силу первого уравнения (2.20), если сиФ 0, то c„+i = = 0, Cfe-I = O. Поэтому в силу остальных уравнений получаем PhPh+i = Pk H- Pk+i = Уравнения (2.17) на инвариантных подмногообразиях (2.20) элементарно интегрируются.
Отметим, что уравнение (2.1) преобразуется в уравнение (2.11) с помощью отображения Li = L2 и замены времени т =2t. Поэтому динамическая система (2.6) отображается в динамическую систему (2.17) — точно так же, как модель Вольтерра отображается в цепочку To-да [30].
§ 3. Одномерные интегрируемые уравнения
I. Рассмотрим уравнение (1.1) в специальном случае L = aL2+ ?L + [L, А] (3.1)
в пространстве дифференциальных операторов, причем
L = — dx + Ux (t, х), 2)
А = у ах dl 4-vdx +w + у {Ы3Х — 6 uxdx — 3 Uxx).
2*
19 Здесь а, ?, Y — постоянные, а функции v(t, х), w(t, х) необходимо найти из уравнения (3.1). Уравнение (3.1), (3.2) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений (коэффициенты при операторах dl, dx, 1):
