Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
P (L) tJ) + (LA — AL) т]) + LtJ) = P(A)tJ) + kty.
Отсюда, используя определение спектральной функции tj)(<, к0), находим L(tJ) + AtJ))= k(t) (т|) + AtJ)). Таким об-
13 разом, функция г)з + Aiji также является спектральной функцией оператора L и отвечает тому же собственному числу k(t)., Это обстоятельство делает возможным применение метода обратной задачи рассеяния к уравнениям вида (1.1) (см. ниже § 3).
Отметим следующее естественное обобщение уравнения (1.1):
L = BP(L)-HL, А],
где В — некоторый оператор. Пусть к0 — произвольный корень уравнения P(Zc) = O и if)(t, к0) — соответствующая спектральная функция: Lif (?, fc0) =/с0*Ф(?, &о). Дифференцируя это равенство, в силу указанного уравнения получаем BP(L)if + (LA — AL)-ф + Lxfi = /с0гр. Отсюда очевидно следует уравнение L(if + Aif>) = Tc0(г|э + Aifi), показывающее, что функция ofi+ Aifi также является спектральной функцией, отвечающей спектральному значению к0. В силу этого метод обратной задачи может быть применен к уравнению L = BP(L)+[L, А] на нескольких спектральных уровнях оператора L, являющихся корнями уравнения P(Zc) = O (а не на одном уровне, как в работах [27-29]).
III. Важный случай уравнений вида (1.1) возникает, если уравнение L = [L, А] на орбитах Vn является интегрируемым по Лиувиллю. В этом случае орбиты Vn расслоены на инвариантные торы, динамика траекторий по которым является квазипериодической. Такие уравнения (1.1) могут моделировать, например, возникновение квазипериодического движения жидкости (типа течения Куэтта) из ламинарного движения при росте числа Рей-нольдса.
Укажем класс уравнений (1.1), которые на всех инвариантных подмногообразиях Vn являются интегрируемыми. Пусть Р(х), Q(x), R(x)— целые аналитические функции, К — постоянная матрица, А (і) — произвольная матрица. Рассмотрим динамическую систему вида
Ь = P(L)+[(?(L), К]+ [Л(P(L)), A(Z)]. (1.9)
Утверждение 1. Уравнение (1.9) принадлежит классу (1.1) и на каждой орбите Vn(P(Vn) = Q) допускает представление Лакса со спектральным параметром.
Действительно, справедливо тождество
KL", К] = [L, ML-1K+ L-2KL + ... + KL-1)],
14 из которого в силу аналитичности функций Р(х), Q(x), R(x) следует представимость уравнения (1.9) в виде (1.1). На орбитах Fn(P(Fn)=O) уравнение (1.9) принимает вид L = [(?(L), К] и имеет следующее эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром E:
(L + К?)' = [L + KE, -C(L)?-1]. (1.10)
Отсюда следует наличие дополнительных первых интегралов, являющихся коэффициентами при степенях Ek в разложении многочлена Tr(L-FKS)"1.
Утверждение 1 справедливо также и для более широкого класса уравнений вида
L = P(L)+ [Q (L), Kl + І [Ri (P (L)), Ai (Z)] + [L, K1 (Z)]
г=1
(1.11)
при условии [К, Ki(Z)] = 0. Действительно, на орбитах Fn(P(L) = O) уравнения (1.11) допускают представление Лакса со спектральным параметром:
(L + KEY = [L + KE, K1 (Z) - Q (L) Е~г}.
Замечание 1. Произвольная динамическая система вида
L = [0(L), K1] +(L), K2] в целом не является интегрируемой, однако на отдельных орбитах, определенных условиями Q(Fn) = O или .R(Fjt) = = 0, имеет представление Лакса со спектральным параметром (1.10) и поэтому является интегрируемой.
IV. Более сложная, чем в уравнениях (1.5), динамика собственных чисел матрицы L реализуется в уравнениях вида
L = i?(L) + [L, А], (1.12)
где R(L) — аналитическая или мероморфная функция матрицы L, коэффициенты которой зависят от инвариантов матрицы L, т. е. от функций Ih = Tr Lh. Подстановка (1.2) приводит к уравнению
A = -R(A), (1.13)
которое, вообще говоря, не распадается в систему одномерных уравнений и описывает динамику собственных чисел матрицы L. Устойчивым особым точкам или инвариантным подмногообразиям An системы (1.13) соот-
15 ветствуют устойчивые инвариантные подмногообразия уравнения (1.12) —аттракторы Fn = QAnQ"1.
Например, определим функцию R(L) формулой
R(L)= L"-1 Tr Lm - L"-1 Tr Lft. (1.14)
Тогда уравнение (1.13) принимает вид системы
п п
Ki = я?"12 Xf - XT'12 я.,- (1.15)
j=i j=i
и не распадается в отдельные одномерные уравнения. Уравнения (1.15) имеют первый интеграл /2 = Tr L2.
§ 2. Динамические системы с аттракторами
I. Построим конкретные динамические системы, допускающие операторное представление вида (1.1):
L = aL3 + ?L + [L, А]. (2.1)
Предположим, что матрицы L и А (размера пХп) имеют только следующие ненулевые элементы:
Lii+i = Lj+Iii = bi, Af,j+2 = —АІ+2,І = Xi. (2.2),
Уравнение (2.1) эквивалентно системе алгебраических и дифференциальных уравнений:
аЬА+А+2 + ЬА+І - bh+2xk = 0, (2.3)
Ьк = abh {Ь\-г + bi + bft+i) + ?&A + bh-iXk-i— bh+1xk.
(2.4)
Решение системы алгебраических уравнений (2.3) определяется формулами (т — произвольная постоянная)
xh =— (т + ка) ЬА+1. (2.5)
Дифференциальные уравнения (2.4) после подстановки формул (2.5) и замены переменных ah = b\, т = 21 принимают вид
ак = ак[(т + ка) (аш -аЛ_і)+ a(2ah~\ + ак rf aA+i) + ?].
(2.6)
Построенная система уравнений (2.6) в силу вывода эквивалентна уравнениям (2.1), (2.2), (2.5) и поэтому, как показано в § 1, обязана иметь аттрактор. Динамическая система (2.6) вкладывается в общий класс уравнений, предложенных В. Вольтерра для описания дина-
