Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
V1 = TnxVz + m2vvz + m3vzzi. (1.2)
Разумеется, эти предположения означают наличие некоторой анизотропии среды по отношению к дисперсии волн. Уравнение с производными третьего порядка, удовлетворяющее перечисленным условиям, может иметь только следующий вид:
Vt = C1I^x + C2Wx + CaVVy + CiV хОх Vy -J- C5Vxxx + C?Vxxy H-
-Ь c^vXyy + CftVxdx Vyy + c^vxdx Vyyy. (1-3) В этом уравнении нет слагаемых
Cl0^, C^xVydx Vy, C12Vxdy Vx, Cl3Vydy Vx, CliVyyy,
22 T
ClfrVx, C16VxVy, Cy1Vy, СIgVxVxx, C1QVyVxx и т. д.,
так как они не удовлетворяют указанным условиям.
27 Всюду в дальнейшем операторы дх 1 и ду 1 однозначно определяются формулами
X у
{дхги) (х, у) = J V (I, у) dl, (?"?) (ж, y) = \v (.X, l) dl-о о
В уравнении (1.3) слагаемое C\vx устраняется с помощью замены координат
X =х + cxt, у' = у, t' = t. (1.4)
Слагаемые C2WX и Csvxxx устраняются по отдельности с помощью замены
X-=Xr+ Coy', У"= у', t"=t', (1.5)
где Со = — сг/(с3 + а) и со = — с$/(с& + с7), и одновременно если выполнено соотношение С2І (Сз + C4) = С5/ (С6 + Cj). Другие линейные замены координат, отличные от (1.4), (1.5), приводят только к усложнению уравнения (1.3). Поэтому существенная, неустранимая часть этого уравнения имеет вид
Vf = C3Wy + С?>хдх Vy + C6Vxxy ~Ь ?7 Vxyy +
+ C8Vxdx2Oyy + C9Vxdx3-Vyyy (1.6)
В дальнейшем рассматривается простейший случай уравнения (1.6), удовлетворяющий естественному условию, что уравнение, как и уравнение волны Римана (1.1), содержит минимальное возможное число производных по координате у, т. е. имеет вид
Vt = IiVVy + MVxdx1Vy — SVxxy (1-7)
II. Перечислим некоторые свойства уравнения (1.7). Для функций v(t, х, у), не зависящих от х, уравнение (1.7) переходит в уравнение волны Римана (1.1). Для функций v(t, х, у) вида v(t, х, y) = u(t, z), z = х + c~ly, уравнение (1.7) переходит в уравнение КдФ
CUt= (к + т) UUz- SUzzz, (1.8)
Для функций v(t, х, у) вида
v(t, х, у) = и{х, х), % = Ct +у, уравнение (1.7) переходит в уравнение
сих — кищ + MUxdx1Ui — SUxxxi (1-9)
28 которое исследовалось в работах [33, 341 при дополнительных предположениях к = 2т и к — т.
После замены v = ux уравнение (1.7) принимает вид
uxi = MixUxy + MUyUxx — SUiaxy. (1.10)
Нетрудно проверить, что производные по t от выражений
P1 (и) = U%, P2 (и) = к U2xx + и%
в силу уравнения (1.10) имеют дивергентный вид. Поэтому уравнение (1.10) обладает двумя первыми интегралами
OO OO
h = I J u^dx dy> h = j j" ( ulx + ulj dx dy,
-ОС -OO
которые аналогичны интегралам импульса и энергии для уравнения КдФ (1.8).
При к = т уравнение (1.10) эквивалентно эволюционному уравнению
Ut = UxUy-Uxxv. (1.11)
Уравнение (1.10) имеет следующие точные решения:
u(t, х, у) = + Х + Ч> (у + Vtfj + Vx, (1.12)
где ф (у) — произвольная функция, Я, V — произвольные постоянные, S (х)— классическая ^-функция Вейерштрас-са, (х) = — (р (х). ^-функция Вейерштрасса является двоякопериодической и мероморфной; ^-функция удовлетворяет соотношениям
?(л + 2<в)=Б(*)+2т|, s (2 +2®')= S(Z)+ 2п'
и определяется сходящимся рядом
OO
ті + і+хі (!-із)
Z
т.п
где Wmn ='2ти + 2гею' — векторы решетки периодов на комплексной плоскости. Доказательство того, что формула (1.12) определяет решение уравнения (1.10), следует из уравнения = \2§>f для гР-функции Вейерштрасса [176].
Уравнение (1.10) имеет автомодельные решения следующего вида:
u(t, х, y) = tau(z, v), z = xta, v = yt~l~2a, (1.14)
29 где а — произвольный параметр. Уравнение (1.10) после подстановки выражений (1.14) принимает вид
2аuz + azuzz — (1 + 2а) vuzv = kuzuzv + muvuzz — suzzzv. (1.15)
В двух специальных случаях а = 0 и а = —1/2 уравнение (1.15) обладает трансляционной инвариантностью по одной из координат z, v. При а = —1/3 уравпение (1.15) имеет одномерные автомодельные решения u(z, i;) = u(?), E = 2 + v, для которых сводится к уравнению
-TjW + Ю = (к + т) if - sf" , / = и',
известному из теории уравнения КдФ.
Предельными к решениям вида (1.14) являются автомодельные решения
u(t, х, y)=e*u(z, V), z=xe\ v = ye~2',
для которых уравнение (1.10) сводится к уравнению
2 uz + zuzz — 2 VUzv = kuzuzv + TiiUvUzz — suzzzv.
III. Уравнения (1.10) при различных значениях параметра кіт не эквивалентны — все масштабные преобразования сохраняют это отношение. Значение параметра к/т = 2 оказывается выделенным. В этом случае уравнение (1.10) гамильтоново ji имеет вид
Щ = Ox1SH/б и,
где гамильтониан H(и) определен формулой
оо
Я(и) = JJ^ Uxxx — Y ux~j Uydx dy.
— OO
При к/т = 2 уравнение (1.10) после масштабного пре-
,, , т , 4s
образования х = — я, у = —^y принимает вид
т
Utx ^ 4UxUxy + 2 и yllxx Wxxxy > (1.16)
Именно это уравнение ввиду его выделенного характера и будет исследоваться в дальнейшем.
IV. Важным свойством уравнения (1.16) является наличие для него эквивалентного представления Лакса
Lt = [L1A], (1.17)
где L — оператор Шрёдингера
L= -д% + ux(t, х, у), (1.18)
