Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
?n (t)=bn(t)/(ia'(iXn)), п = 1, N. (3.32)
В соответствии с формулами Хироты [5] и формулой (3.29) потенциал u(t, х) имеет вид
и V' x^ = - 2 Txln det А С' X) + G (0. з 33
Aij (?, Ж) = Sij + (Xi + Х;У% (Z) exp (-(Aj + Xj) х),
где Aij (Z, х) - компоненты матрицы A (Z, х), i, j = l, ... ..., N. В силу условия Xi > 0 асимптотика функции u(t, х) (3.33) определяется формулами
N
X_>. _ оо; и («, г)-> 4 Д Xn + G(0. ^ ^
х-+- + оо: u(t, x)-+G(t).
В силу (3.34) необходимое условие (3.31) выполнено при любой функции G(t). При ?->±°о решение (3.33) распадается в сумму односолитонных решений (3.6), для которых справедливо равенство g(t)+h(t) = 0. Следовательно, это же равенство справедливо и для решения (3.33), что в силу (3.9) и (3.34) однозначно определяет вид функции G (Z):
G (Z) = /г (Z) = - g (Z) = - 2 2 ^n (I)- (3.35)
п—1
При Ar = I формулы (3.33), (3.35) определяют солитон (3.6), (3.7). При ?/a = o>0 поведение А-солитонно-го решения (3.33), (3.35) существенно зависит от расположения чисел An(Z), изменяющихся в силу уравнения (3.14) относительно точки о1/2. При Яп(0)<а1/2 для всех t справедливы неравенства 0 < An(Z) < о1/2; при An(O)> > Ou2 функция An(Z) становится неограниченной при изменении Z. Поэтому поведение iV-солитонных решений уравнения (3.5) существенно отличается от А-солитон-ных решений уравнения Кортевега — де Фриза, которое вкладывается в уравнение (3.5) при а = О, ? = 0.
24 V. Рассмотрим уравнение (3.1) в случае матричных операторов LhA вида
L = ip0dx+u0, А = (—l—ax)ip0dl—(u0(i + ax) + ?x)dx + w0,
где и (t, х) — неизвестная комплекснозначная функция, а, ?, Pi, Pi — вещественные постоянные. Из уравнения (3.1), (3.36) следует, что матричные элементы wk должны иметь вид
w\ = iq( (1 + olx) Ы12 + av), q = (pi — p2)-1,
В этом случае операторное уравнение (3.1), (3.36) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению: —Ш( = PiP2q({i + ax)u)xx — i$(xu)x +
Это дифференциальное уравнение при « = 0, ? = О совпадает с нелинейным уравнением Шрёдингера. Предыдущие построения данного параграфа применимы также и к уравнению (3.38). Поэтому уравнение (3.38) является интегрируемым негамильтоновым возмущением нелинейного уравнения Шрёдингера.
Замечание. Аттракторы в нелинейных уравнениях, удовлетворяющих алгебраической конструкции (1.1), оказываются гладкими многообразиями (орбиты действия некоторой группы автоморфизмов) и поэтому не являются «странными аттракторами». Другой класс нелинейных уравнений с частными производными, обладающих аттракторами, изучался в большом цикле работ, начавшемся работой [90] (см. обзор [91]).
Vx= Iul2, Wz = -W ь (3.37)
W2 = — q{p\(1 + ах) их + ар%и), w4 = g (i?2 (1 + olx) их + ар\и).
+ 2qu{{i + ax)\u\* + av). (3.38) ГЛАВА II
ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯ солитоны В ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЯХ
Широко известно, что из уравнения Лакса L = [L, А],
которое называют также уравнением изоспектральной деформации, следует постоянство собственных чисел оператора L. Одним из следствий этого обстоятельства является простейшая динамика солитонных решений. Однако это не верно, если оператор L параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирования по которым входят в оператор А, но не входят в оператор L. В данной главе изучается класс нелинейных уравнений, зависящих от трех (?, х, у) и более переменных, которые допускают представление Лакса. Тем не менее собственные числа /(?, у) соответствующих операторов L измейяются и удовлетворяют нелинейным дифференциальным уравнениям [16], частным случаем которых является классическое уравнение для волны Римана
vt + wv ='0.
В силу этих уравнений с течением времени происходит, как и для волны Римана v(t, у), опрокидывание графиков собственных чисел /(Z, у), что приводит к возникновению их многозначности. Такое же опрокидывание происходит и в солитонных и А-солитонных решениях, которые мы будем называть в дальнейшем опрокидывающимися солитонами. Среди уравнений, обладающих указанными свойствами, содержится уравнение, возникающее в теории нелинейных волн и имеющее физические применения.
26 § 1. Двумерное интегрируемое уравнение
I. Во многих задачах гидродинамики возникают одномерные волны Римана, которые определяются уравнением
Vt = kvvy. (1.1)
В работах [31, 32] изучались системы гидродинамического типа, включающие в себя уравнение (1.1) и возникающие при усреднении интегрируемых уравнений по методу Боголюбова — Уизема.
Исследуем вопрос о двумерном взаимодействии волны Римана (1.1), распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х. Подобное взаимодействие в некотором приближении наблюдается в волнах на поверхности моря. Какое уравнение может описывать это взаимодействие?
Естественным требованием к уравнению нелинейных волн является линейность по старшим производным и наличие у линеаризованного уравнения волновых решений вида v(t, х, у) = a cos (kix + кїу — at). Вследствие этого каждое слагаемое в линеаризованном уравнении должно содержать производные только нечетного порядка. Так же естественно предположить, что уравнение в делом имеет квадратичную нелинейность и для функций, не зависящих от х, переходит в уравнение волны Римана (1.1), а для функций, зависящих от одной пространственной переменной Z = X + су (при произвольных постоянных с), переходит в уравнение длинных волн — в уравнение Кортевега — де Фриза
