Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
L = P(L) + [L, А]
в пространстве линейных операторов. Уравнения, построенные по этой конструкции, имеют аттракторы в фазовом пространстве и вместе с тем обладают большим набором первых интегралов; их солитонные решения имеют нестандартную динамику.
Широко известно, что из уравнения Лакса L = [L, А], которое называют также уравнением изоспектральной деформации, следует сохранение собственных чисел оператора L. Однако это не верно в тех случаях, когда оператор L параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирования по которым не входят в оператор L, но входят в оператор А. При этом собственные числа оператора L изменяются и удовлетворяют нелинейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Частным случаем последних является классическое уравнение опрокидывающейся волны Римана. Такое
7 поведение собственных чисел оператора L приводит к солитонпым решениям нового типа — опрокидывающимся солитонам, которые изучаются в главах II—IV части I. Нелинейные дифференциальные уравнения, эквивалентные уравнению Лакса с указанными операторами L и А, интегрируются методом одномерной обратной задачи рассеяния. В специальном случае, когда оператор L является матричным оператором Шрёдингера, полученные уравнения вкладываются в класс уравнений, интегрируемых с помощью обратного спектрального преобразования, указанный в работах Ф. Калоджеро и А. Дегаспериса (1976, 1977). Нелинейное уравнение
выведенное в главе II, имеет применения в гидродинамике и описывает двумерное взаимодействие волны Римана с поперечными длинными волнами. Несмотря на наличие опрокидывающихся солитонов, это уравнение, а также его модифицированное уравнение (глава III)
имеют счетное множество первых интегралов, определяемых явными локальными формулами.
Явление опрокидывания приводит к возникновению многозначности решений, которая, однако, в отличие от задач газовой динамики не означает ограничение области применимости выведенных уравнений, так как не связана с пересечением траекторий частиц. Другие применения многозначных функций и функционалов указаны в работах С. П. Новикова (1981, 1982).
В части II книги исследуются алгебраические конструкции нелинейных динамических систем и уравнений, допускающих эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром. Такие динамические системы и уравнения в большинстве случаев являются интегрируемыми в тэта-функциях римановых поверхностей с помощью алгебро-геометрических методов (Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков, 1976).
Счетное множество интегрируемых динамических систем, каждая из которых в континуальном пределе переходит в уравнение Кортевега — де Фриза, построено в гла-
8
X
О
X
О ве V. В этом множестве содержится классическая модель Вольтерра (дискретное уравнение КдФ или ленгмюров-ская цепочка). Полученные динамические системы так же, как модель Вольтерра, имеют применения в физике плазмы и в математической экологии. Континуальный предел всего построенного семейства динамических систем является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением, которое исследуется в главе VI. Это уравнение допускает представление Лакса, обладает счетным набором первых интегралов, определяющихся явными формулами и имеет применения в качестве кинетического уравнения в физике плазмы.
Алгебраические конструкции интегрируемых дифференциальных уравнений в алгебрах гладких функций на многообразиях и в произвольных непрерывных ассоциативных алгебрах исследованы в главе VII. С помощью этих конструкций построены интегрируемые уравнения Эйлера в прямых суммах алгебр Ли gl (п, (R) и so (п, (R), имеющие применения в динамике твердого тела с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Алгебраические аналоги цепочки Тода и системы Вольтерра, связанные с простыми алгебрами Ли, построены в главе VIII; все эти системы допускают представление Лакса со спектральным параметром. В главе VIII построены также опрокидывающиеся решения в уравнениях, являющихся континуальными пределами цепочки Тода, систем Ферми — Паста — Улама и их двумеризаций.
Часть III монографии посвящена изучению задач механики и математической физики, которые сводятся к уравнениям Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли. К таким задачам относятся (глава IX): динамика твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости; вращение твердого тела вокруг неподвижной точки под действием гравитационных и электромагнитных сил; вращение твердого тела, имеющего эллипсоидальные полости, заполненные идеальной несжимаемой или магнитной жидкостью; различные задачи, связанные с вращением спутника вокруг центра масс, движущегося по заданной орбите.
Глава X посвящена доказательству теоремы о том, что поступательно-вращательное движение произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом является вполне интегрируемым по Лиувиллю и интегрируется в тэта-функциях римановых поверхностей. Эта* задача ес-
9 тественно возникает при изучении динамики твердого тела в поле удаленных притягивающих объектов; ее интегрируемость является следствием фундаментального физического факта — равенства инертной и гравитационной масс.
