Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
В главе XI исследуются интегрируемые случаи уравнений Эйлера на некоторых шестимерных коалгебрах Ли. Указаны физические применения уравнений Эйлера на алгебре Ли SO (4) и в прямой сумме алгебр Ли SO (3), связанные с динамикой твердого тела, имеющего эллипсоидальные полости, заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.
Магнитогидродинамическая модель вращения пульсара, связанная с уравнениями Эйлера на алгебре Ли 80(3) + .? изучается в главе XII. Указаны конкретные применения этой модели, для которых предсказываемый период вращения пульсара согласуется с астрофизическими данными.
Мне приятно выразить свою признательность сотрудникам Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР за полезные дискуссии по результатам работы. ЧАСТЬ 1
ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯ солитоны
глава і
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ С АТТРАКТОРАМИ
Большинство интегрируемых нелинейных уравнений допускает, как известно, представление Лакса [4]
с некоторыми линейными операторами LiiA [4—11]. В данной главе изучаются динамические системы и нелинейные уравнения, зависящие от двух переменных t и X, построенные с помощью нОіВОЙ алгебраической конструкции, расширяющей конструкцию Лакса. Существенной особенностью построенных нелинейных уравнений является наличие аттракторов в их фазовом пространстве и нестандартное поведение их солитонных решений.
§ 1. Алгебраическая конструкция дифференциальных уравнений с аттракторами
I. Рассмотрим в алгебре конечномерных линейных операторов gl (п, С) дифференциальное уравнение вида
где P (X) — некоторая аналитическая функция с постоянными коэффициентами. Уравнение (1.1) при P(L)=O переходит в уравнение Лакса. Покажем, что при Р(L)?= ?=0 уравнение (1.1), так же как и уравнение Лакса, имеет набор первых интегралов, однако поведение его траекторий существенно отличается от поведения траекторий уравнения Лакса вследствие наличия аттракторов и неустойчивых инвариантных подмногообразий в пространстве матричных компонент оператора L.
Представим оператор L в виде
L= [L, А]
L = P(L)+[L, А]
(1.1)
L = QAQ-1,
(1.2)
11 где оператор Q определяется из уравнения
Q = -AQ. (1.3)
Вследствие формул (1.2), (1.3) получаем L = QAQ-1 + QAQ-1 - QAQ-1QQ"1 =
=—AQAQ-' + QAQ-1A + QAQ"1 = QAQ"1 + [L, А]. Отсюда в силу (1.1) находим
QAQ-1 = QP(A)Q-1, A = P(A). (1.4)
Предположим, что оператор A в начальный момент времени выбран диагональным. Это свойство сохраняется в силу системы (1.4), которая в этом случае распадается на независимые уравнения для собственных чисел Xk оператора L:
K = P(K), = t-t0. (1.5)
ck
В общем случае комплексных собственных чисел Xh первыми интегралами динамической системы (1.4) — (1.5) являются многозначные функции
Xj
I Ш = F{Kh'
где интеграл берется по произвольному пути 1Y на комплексной плоскости, не содержащему корней уравнения P(X)= 0. В дальнейшем предполагается, что оператор L симметрический, А кососимметрический, P (х) — вещественная аналитическая функция. Тоща уравнения (1.5) определены на вещественной оси R 1 (—°° < X < +<») и корни уравнения P(X) = O делят ось R1 на инвариантные интервалы. Пусть каждая точка Ck находится в том же интервале, что и собственное значение Xk. Следующие функции собственных чисел X1, Xk матрицы L являются однозначными первыми интегралами уравнения (1.1):
FiU, К) = J' ^-J 5?-. (1.6)
H cK
12 Уравнение (1.1) имеет набор инвариантных подмногообразий F,„ на каждом из которых все собственные числа матрицы L являются корнями уравнения P(rK)= 0. Каждое многообразие Fn является орбитой вида QAnQ-1, где Ajj = Xfoij, P (Я?) =0. Орбита Fn является устойчивым инвариантным подмногообразием— аттрактором уравнения (1.1) — если во всех точках Я?имеем Р'(Я?)<0. Многообразие Fn является неустойчивым, если хотя бы b одной точке Xk имеем P' (я") > 0.
Таким образом, конечномерная динамическая система, определенная уравнением (1.1), является системой типа Смейла: имеется набор устойчивых и неустойчивых инвариантных подмногообразий — орбит Fn: L = SAnS"1, на которых P(L) = P(An) = O. Вне орбит Fn динамика траекторий системы (1.1) допускает полное качественное исследование, так как изменение собственных чисел Яг-
матрицы L определяется уравнением Xi = P (Xi).
II. Покажем, что уравнение (1.1) является условием совместности следующих уравнений:
LtJ) = /ct|), т|) + AiJ) = (хг(), к = P(к), (1.7)
где її (t) — произвольная функция. Действительно, дифференцируя первое уравнение (1.7) по времени, получаем
Lty = Щ+(к- L)tJ).
Подставляя в это уравнение выражения к и г|) из уравнений (1.7), находим
LtJj =P (к) ? + LAt|)-ALtJ), (1.8)
что и приводит к уравнению (1.1).
Рассмотрим спектральную задачу, связанную с уравнением (1.1). Пусть т|)(?, ко)—спектральная функция оператора L, удовлетворяющая уравнению Lt|)(?, ко) = = k(t)ty(t, ко), где спектральное значение k(t) изменяется в силу уравнения k(t)=P(k, t), к(0)= к0. Дифференцируя спектральное уравнение по времени, в силу уравнения (1.1) получаем
