Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
45
Рис. 2.4. Причинное пространство-время (Af, g), в котором последовательность IVn} непространственноподсбных кривых может обладать предельной кривой у, но не имеет подпоследовательности, сходящейся к 7 в С"-топологии на кривых, может быть построено из подмножества пространства Минковского, как показано на рисунке.
телыюсти \ут} cz Iy71I, сходящейся Kyb Сп-топологии. Это показано на рис. 2.4 (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 214), где рассматриваются причинные свойства этого примера).
Обратно, последовательность непространственноподобных кривых \уп\ может сходиться в С°-топологии к некоторой непростран-ственноподобной кривой Y' но не иметь Y предельной кривой. В этом можно убедиться на примере цилиндра M = S1 X R с лоренцевой метрикой as2 = dQ dt. Пусть уп — сегмент на образующей 0 = 0, задаваемый формулой уп (t) — (0, t) для 0 < t < < 1, п любое. Если Y — кусочно-гладкая непространственноподобная кривая, получаемая в результате обхода по окружности t = 0 (это изотропная геодезическая), а затем вверх по образующей 0 = 0 от t = 0 до t = 1, то {Yni сходится Kyb C0-топологии; однако Y не является предельной кривой для последовательности |Yn| (рис. 2.5).
В сильно причинных пространствах для последовательностей непространственноподобных кривых эти два вида сходимости почти равносильны (см. Бим (1979а, с. 164)). Более точно:
Предложение 2.21. Пусть (М, g)— сильно причинное пространство-время. Предположим, что |Yn| — последовательность непространственноподобных кривых, определенных на [a, b I и таких, что уп(а) -> р и уп (b) -> q. Непространственноподобная 46
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
t
У
Є
Рис. 2.5. В хронологических пространствах последовательность {уп} непространственноподобных кривых может сходиться к неиространственноподсбной кривой V в С°-топологии на кривых, однако у может не бьпь предельной кривой пи для какой подпоследовательно-ст" (Vm) последовательности {y„j. Кривые у„ — отрезки на прямой 9 = 0 от / = 0 до /= 1. Кривая у обегает вокруг цилнндра один раз и затем идет по уп.
а
кривая у. [a, M М, удовлетворяющая условию у (а) = р и у (b) q, является предельной кривой для последовательности jY„| тогда и только тогда, когда найдется подпоследовательность последовательности . сходящаяся к у в C0-топологии на кривых.
Доказательство. (=>) Без ограничения общности можно предполагать, что и у, її все уа являются кривыми, направленными в будущее. Пусть V — произвольное открытое множество, содержащее у. Покроем компактный образ у выпуклыми нормальными окрестностями Wi, ..., Wh так, что каждая окрестность Wi cr V и никакая непространственноподобная кривая, покидающая Wi, никогда в Wi не возвращается. Существует разбиение а -= /0 <
< Z1 < ... < ts --= Ь отрезка [а, Ь], такое, что для всех Ocic
< j — 1 каждая пара у (tt), у (ii+5) лежит в некоторой Wh-Здесь h — h (і) и 1 < h (i) < k для всех І. Пусть {ymj — подпоследовательность, выделяющая предельную кривую у. Для любого т положим р (0, т) = ут(а), p(j, tn) = ут (ft). Для каждого фиксированного І, 0 < г < j, выберем точку р (г, т) ? ут так, чтобы последовательность {р (С, т)\ сходилась к у (/,¦). Вследствие того что точка у (ti+1) лежит в причинном будущем точки у (Yi), a M сильно причинное, точка р (i -f 1, т) лежит в причинном будущем точки р (і, т) для всех т, больших некоторого N1. Кроме того, существует N2, такое, что точки р (І, т) и р (i + 1, т) лежат в Wh (о для всех 0 с і с j — 1 и т ^ Ns. Положим N — max IAr1, N2\. Часть кривой ут, соединяющая р (/, т) с р (i + 1, т), должна целиком лежать в Wh (t) при т ^ N в силу того, что никакая непространственноподобная кривая не может покинуть Wh и вернуться. Отсюда следует, что ут cz W1 U (J ... Wk er V для всех m^s N, как и требовалось. 2.3. Предельные кривые и С-топология на кривых:
47
(-Ф=) Пусть JymI ¦— подпоследовательность, сходящаяся к 7 в C0-топологии на кривых. Покажем что множество A= |/0 G ? Го, Ы: каждая точка кривой у j [а, /0] является предельной точкой данной подпоследовательности} совпадает с [а, Ь]. Ясно, что из сходимости ут (а) -> у (а) вытекает включение а ? А. Если х = sup |/0: /0 ? А}, то для каждого t, ? с /, с т, точка 7 (/) является предельной точкой для подпоследовательности {7т 1 • Чтобы доказать включение х ? А, предположим, что х > а, и рассмотрим последовательность {/й}, у которой tk -> т. Всякая окрестность U (7(0) точки у (і) для достаточно больших k является также и окрестностью точки 7 (/,,) и, следовательно, должна пересекаться со всеми кривыми подпоследовательности {7m}, кроме, быть может, конечного числа. Поэтому у (т) — предельная точка для \ут\, и множество А должно быть замкнутым отрезком, содержащимся в [а, Ь]. Допустим, что х < Ъ. Используя сильную причинность многообразия (М, g), можно найти выпуклую нормальную окрестность V точки 7 (т), такую, что никакая непространственноподобная кривая на (М, g), которая покидает V, в нее не возвращается. Полагая V достаточно малой, мы можем допускать, что (V, g|V) глобально гиперболично и что /: V -> -> IR — функция времени Коши для (V, g I V), причем / (V) = R и / ІУ (т)) = 0- Предположим, что 7 (Ь) ф V. Тогда любая непро-должаемая непространственноподобная кривая из (М, g), имеющая непустое пересечение с V, должна пересекать каждую поверхность Коши /-1 (s) ровно один раз. Зафиксируем s, 0 < < s < оо, и рассмотрим х (s) = 7 П /-1 (s). Вследствие того что 7 (т) ? V и у (Ь) ф V, это пересечение не пусто. Из того что 7 (т) и у (Ь) — предельные точки подпоследовательности |7т}, кривые ут должны иметь непустые пересечения с /_г (s) для всех достаточно больших т. Для всех таких т положим хт (s) = ут П П fs] (s). Чтобы убедиться в сходимости хт (s) -> X (s), заметим, что для каждой окрестности W кривой 7 ТОЧКИ Xnl (s) должны лежать в W П (s) для всех достаточно больших т (рис. 2.6). Это показывает, что каждая точка х (s) является предельной точкой для подпоследовательности {7,,,}. Следовательно, множество А содержит числа, большие т, в противоречии с определением х, и'мы'заключаем, что А = I?, Ь]. Полученное соотношение показывает, что 7 — предельная кривая для подпоследовательности I Yml • ?
