Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть 7 — непространственноподобная кривая в сильно причинном пространстве-времени (М, g). Выберем в M компактное подмножество К так, чтобы 7 с: Int (К)- Предположим, что на множестве непространственноподобных кривых, содержащихся в К, задана С°-топология. Известно (см. Пенроуз (1972, с. 54)), что лоренцев функционал длины дуги L (7) (см. равенство (3.1)) 48
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
Рис. 2.6. В доказательстве предложения 2.21 глобально гиперболическая окрестность V точки у (т) имеет временную функцию Коши /: V -*¦ -*¦ R, для которой / (7 (т)) = 0. Для всех достаточно больших т кривые Vm должны пересекать поверхность Коши /-1 (s) в единственной точке хт (s). Если W — произвольная окрестность 7, то хт (s) ? f f П Г' (s) Для всех достаточно больших т. Можно выбрать W так, чтобы W П Ґ1 (s) было столь малой окрестностью точки х (s) = 7 П П Ґ1 (s) в /-1 (s), сколь мы пожелаем. Тогда хт (s) х (s) и л; (s) должна быть предельной кривой для подпоследовательности {1>т}.
полунепрерывен сверху относительно С°-топологии на кривых (см. Буземан (1967, с. IO)). Этот факт является аналогом хорошо известного результата, что риманов функционал длины дуги полунепрерывен снизу.
Замечание 2.22. Пусть (М, g) сильно причинно и у — заданная непространственноподобная кривая в (М, g). Если последовательность \уп\ непространственноподобных кривых сходится к 7 в С°-топологии на кривых, то
L (у) TIm L (у«)-
2.4. Двумерноз пространство-время
В этом разделе мы рассмотрим топологическую и причинную структуры на двумерных лоренцевых многообразиях. Мы покажем, используя пару изотропных векторных полей, образованных векторами, которые в каждой точке M касаются двух изотропных геодезических, что универсальное накрывающее многообразие произвольного двумерного лоренцева многообразия гомеоморфно R2. Затем мы докажем, что каждое двумерное лоренцево многообразие, гомеоморфное R2, устойчиво причинно. В частности, всякое односвязное двумерное лоренцево многообразие причинно. Поэтому никакая лоренцева метрика на R2 не имеет замкнутых непространственноподобных кривых. Следует отметить также, что двумерные (но не выше) лоренцевы многообразия обладают тем свойством, что (М, —g) тоже лоренцево. Это иногда оказывается 2.4. Двумерное пространство-время
49
полезным, например при получении сведений о поведении всех геодезических в (М, g) из результатов, выполняющихся в высших размерностях только для непространственноподобных геодезических.
Пусть (М, g) — произвольное двумерное лоренцево многообразие. Зафиксируем точку р ? M и выберем выпуклую нормальную окрестность U (р) с р в качестве базовой точки. Рассмотрим следующий способ задания локальных координат для точек из U (р), достаточно близких к р. Пусть Y1: (—еь +E1) -»• U (р) и Y2: (—е2, +е2) U (р) — две изотропные геодезические, проходящие через точку р так, что Yi (0) = Y2 (0) ~ P- Для каждой достаточно близкой к р точки q ? U (р) две изотропные геодезические, проходящие через точку q, будут пересекать Y1 и Y2 в окрестности U (р) в однозначно определяемых точках Yi (к) и T2 (so) соответственно. Припишем точке q координаты (^0, s0). В этих координатах изотропные геодезические вблизи р содержатся в множествах вида t ~ t0 или s == S0. Тем самым мы доказали следующее утверждение.
Лемма 2.23. Пусть (M, g) — двумерное лоренцево многообразие. Тогда у каждой точки р ? M есть окрестность, в которой можно ввести локальные координаты х = (X1, х2) так, чтох(р) = 0 и любая изотропная геодезическая в этой окрестности содержится либо в множестве вида X1 = ccnst, либо в множестве вида X2 — = const.
Предположим, что X — направленное в будущее временипо-добное поле на М. Тогда в каждой точке р ? M существует два однозначно определенных направленных в будущее изотропных вектора U1, п.г ? TpM, таких, что X (р) -= U1 + л2. Нетрудно видеть, что в достаточно малой окрестности U (р) точки р векторы U1 и пг можно продолжить до непрерывных изотропных векторных полей X1 и X2, определенных на U (р) и удовлетворяющих условию X (q) = X1 (q) + X2 (q) для всех q f U (р). Если M односвязно, то, как мы сейчас покажем, X1 и X2 можно продолжить на все М.
Предложение 2.24. Пусть {М, g) — односвязное двумерное лоренцево многообразие. Тогда на M можно определить два гладких, нигде невырождающихся векторных поля X1 и X2, которые -,t линейно независимы в каждой точке из M.
Доказательство. Вследствие односвязности M многообразие (Al, g) ориентируемо во времени. Поэтому на M можно выбрать гладкое направленное в будущее времениподобное векторное полеХ. Зафиксируем базовую точку р0 Q M и положим X (р0) = = U1 + nv как и выше. Рассмотрим кривую у: [0, 1 ] -* М, 50
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
идущую из р0 в произвольно выбранную другую точку q ? М. Непрерывные изотропные векторные ПОЛЯ X1 и X2 ВДОЛЬ 7, у которых X1 (0) = nlt X2 (0) = II2 и X (7 (*)) = X1 (t) + X2 (t) для всех t Є [0, 1 ], определяются однозначно. Если тр [0, 1 J -> M — любая другая кривая, связывающая р0 и q, то 7 и т] гомотопны вследствие того, что M по предположению односвязно. Таким образом, если Y1 и Y2 — изотропные векторные поля вдоль і], подчиненные условию Y1 (0) = It1 и Y2 (0) = п2, то стандартными рассуждениями теории гомотопий получаем, что ^1(I) ~ X1(I) и ^2(I) = ^2C)- Тем самым предложенная конструкция дает пару непрерывных векторных полей X1 и X2 на М, линейно независимых в каждой точке. ?
