Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
\\р ~qh =V E [Xi(p) ~ Xi (q)\3
для р, q (z U-, постоянная k1 -- (k0 + I)1'- зависит от метрики g, окрестности U и выбора локальной координатной карты (V, х). Это условие Липшица обеспечивает дифференцируемость у почти всюду, при этом I x'i I < Ze1 вдоль у для всех і = 1, 2, ..., п.
Зададим теперь на пространстве-времени (Al, g) вспомогательную полную риманову метрику h с функцией расстояния d0. По теореме Хопфа—Ринова замкнутые шары \q ? М: d0 (р, q) г\ компактны для всех фиксированных р^Ми0сг<оо. Если непространственноподобная кривая у (t) параметризована в U, как и выше: у (t) — (i, X2 (t), ..., Xn (/)), то длина L0 (у | [Z1, /2]) кривой у от I1 до t2 относительно метрики h задается формулой
tu
U (у I [к, к]) = j Y J^h4X1lX) dt, (2.2)
(l Г і. /
где htj — компоненты h относительно локальных координат X1, ..., хп. Вследствие неравенства |х(:| с k\ длина L0 (у | Ui, /21) удовлетворяет соотношению
Lo (у I Ih, У) ^nH4tIi11 h~t2\, 2.3. Предельные кривые и С-топология на кривых:
41
где H — точная верхняя грань | Iiij | на компактном множестве U, 1 с і, / с я. Поэтому любая непространственноподобная кривая, идущая из множества уровня f"1 (Z1) во множество уровня f'1 (Z2) и лежащая в U, имеет длину, не большую величины nH4*kx | Z1—/2|. Покрывая (М, g) локально конечным набором множеств с описанными выше свойствами U и (V, х), получаем, что всякая непространственноподобная кривая в (М, g), заданная на отрезке из R, должна иметь конечную относительно метрики h длину. Поэтому каждую непространственноподобную кривую из (M, g) можно перепараметризовать так, что новый параметр будет совпадать с длиной дуги относительно метрики h. Далее, непродолжаемая кривая у, параметризованная так, что параметром является длина дуги относительно метрики h, должна быть определена для всех вещественных значений (параметра), в силу того что функция расстояния d„ полна (см. лемму 2.52).
Сформулируем теперь один из вариантов теоремы Арцела (его можно доказать при помощи стандартных рассуждений (см. Манкрс (1975, разд. 7.5))).
Теорема 2.17. Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство со счетным базисом, a (M, h) — полное риманово многообразие с функцией расстояния d0. Предположим, что последовательность {/„I функций [п: X -> M равностепенно непрерывна и для каждой точки X0 ? X множество U \fn (?) 1 ограничено относительно d0. Тогда существуют непрерывная функция /: X -> M и подпоследовательность \[т\ последовательности {/„}, которая сходится к f равномерно на каждом компактном подмножестве из X.
При помощи теоремы Арцела мы сейчас докажем утверждение, гарантирующее существование предельных кривых для последовательности \уп\ непространственноподобных кривых, имеющей точку накопления (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 205—206)).
Предложение 2.18. Пусть {—последовательность непродол-жаемых (в будущее) непространственноподобных кривых из (М, g). Если р — точка накопления последовательности |Ynj, то существует непространственноподобная кривая у, предельная для последовательности |7іг} и такая, что р ? у и у непродолжаема (в будущее).
Доказательство. Мы ограничимся рассмотрением доказательства только для непродолжаемых кривых вследствие того, что доказательство для кривых, непродолжаемых в будущее, проводится аналогично.
Пусть, как и выше, h — вспомогательная полная риманова метрика на M с функцией расстояния d0 и каждая кривая уп 42
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
параметризована длиной дуги, вычисленной относительно метрики h. Тогда область определения каждой уп совпадает с R, поскольку предполагается, что каждая кривая последовательности непродолжаема. Сдвигая параметризации, если необходимо, можно выбрать подпоследовательность \ут\ последовательности так, чтобы Ym (0) -> р при т -> оо. Это возможно вследствие того, что р — точка накопления последовательности Iy7lJ. Пользуясь тем, что каждая кривая Ym параметризована длиной дуги относительно метрики h, получаем, что
do (Ym (/i). Ym ('»)) с 1*1 - 4 I (2.3)
для всех т и Z1, ? R. Таким образом, кривые \ут\ образуют равностепенно непрерывное семейство. Более того, вследствие сходимости Ym (0) -> р найдется N, такое, что d0 (Ym (0). р) < 1 для всех т N. Это означает, что для любого фиксированного t0 ? R кривая YjhI t—Z0, Z0] из подпоследовательности IYml лежит в компактном множестве \q ? М: d0 (р, q) < t0 + 1}, если только га^ N. Следовательно, семейство \уш\ удовлетворяет условиям теоремы 2.17, и мы получаем (непрерывную) кривую у: R -> M и подпоследовательность Iy^I подпоследовательности \ут\, такую, что {Yb} сходится к у равномерно на каждом компактном подмножестве из R. Ясно, что yh (0) р = у (Q). Из сходимости IYftI к Y вытекает, что для всех Z1, t2 (Е R выполняется неравенство d„ (y (/і), Y (Z->)) Ui — M- Остается доказать, что Y непрострапственноподобна и непродолжаема.
Чтобы доказать, что Y является непространственноподобной, зафиксируем Z1 ^ R и рассмотрим выпуклую нормальную окрестность U из (М, g), содержащую точку y (Zi)- Выберем б > 0 так, чтобы множество \q ? M: d„ (y (Zi)1 q) < б| содержалось в U. Если Z1 < /2 < t1 + б, то из неравенства (2.3) и равномерной сходимости на компактных подмножествах вытекает, что для всех больших k множество Y/t Ui, Z2] лежит в U. Используя предельные соотношения Yft (Zi) -> Y (Zi). Yft (Z2) Y (Z2) и отношение Yft (Zi) <-и Yft (Z2)> справедливое для всех больших к, а также то обстоятельство, что U — выпуклая нормальная окрестность, получаем, что Y (Zi) Y(Z2)- Тогда у \ U1, 1 — направленная в будущее непространственноподобная кривая в U (см. Хокинг и Эллис (1977, лемма 4.5.1)). Таким образом, у — направленная в будущее непространственноподобная кривая в (М, g).
