Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть у. [а, Ь) —*¦ M — направленная в будущее непространственноподобная кривая. Будем говорить, что кривая захвачена в будущем компактным множеством К, если существует Z0 < fr и
2 Дж. Бим, П. Эрлих 34 Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
такое, что у (t) ? К для всех tu < t < Ъ. Кривая 7 называется частично захваченной в будущем компактным множеством К, если существует бесконечная последовательность tn f b и такая, что У (in) Є К для любого п.
Если многообразие (М, g) сильно причинно, а К — компактное подмножество М, то /С можно покрыть конечным числом выпуклых нормальных окрестностей [Ui], таких, что никакая не-пространственноподобная кривая, покидающая некоторое Ui, никогда в него не возвращается. Из этого вытекает следующее утверждение.
Предложение 2.9. Если (/И, g) сильно причинно, то никакая непродолжаемая непространственноподобная кривая не может быть частично захваченной в будущем (или в прошлом) никаким компактным множеством.
Рассмотрим теперь другой важный в общей теории относительности класс пространств — устойчиво причинные пространства. Для этого, равно как и для дальнейшего использования, полезно определить тонкую О-топологию на Lor (M).
Напомним, что через Lor (M) обозначено пространство всех лоренцевых метрик на М. Тонкие Сг-топологии на Lor (M) можно определить при помощи фиксированного счетного покрытия $ = = [Bi] многообразия M координатными окрестностями со следующим свойством: каждое компактное подмножество M пересекается лишь с конечным числом множеств Bi. Такое координатное покрытие называется локально конечным. Пусть б: M ->¦ (0, оо) — непрерывная функция. Метрики gx, g2?Lor (M) называются б-близкими в С-топологии (обозначение: Ig1 — g2 |г <б), если для каждой точки р ? M все соответствующие компоненты метрических тензоров gj и g2 и их производные до порядка г включительно б (р)-близки в точке р (вычисления проводятся в фиксированных координатах содержащих точку р окрестностей Bl(^ ffl). Множества Ig1 ? Lor (М)\ Ig1 — g2 |г где метрика g2?
(JLor(M) и б: M ->¦ (0, оо) — непрерывная функция, произвольны, образуют базис тонкой Сг-топологии на Lor (M). Можно показать, что эта топология не зависит от выбора координатного покрытия 9%.
Сг-топологиям для г — 0, 1,2 можно дать следующую интерпретацию.
Замечание 2.10. (а) Лоренцевы метрики на М, которые близки в тонкой С°-топологии, имеют близкие световые конусы, (б) Лоренцевы метрики на М, которые близки в тонкой С-топологии, имеют близкие системы геодезических (см. разд. 6.2). (в) Лорен-^цевы метрики на М, которые близки в тонкой С2-топологии, имеют близкие тензоры кривизны. 2.2. Теория причинности пространства-времени
35
Пространство-время (М, g) называется устойчиво причинным, если существует тонкая С°-окрестность U (g) метрики g в Lor (M), такая, что каждая метрика g' ? U (g) является причинной. Таким образом, устойчиво причинное пространство-время остается причинным при малых С°-возмущениях.
Устойчиво причинные пространства можно охарактеризовать в терминах частичной упорядоченности на Lor (M), если для сравнения лоренцевых метрик использовать световые конусы. Именно пусть А — подмножество М, тогда gj ^j4 g2, если для всякой точки р?А и ненулевого вектора V^TpM из неравенства gj (V, и) < О следует, что g2 (V, »)cO, Аналогичным образом: gj <(j4 g2, если для каждой точки р ? А и ненулевого вектора
TpM из неравенства gj (v, и) с О следует, что g2 (v, v) <0. Вместо gj -<v g2 (соответственно gj g2) будем писать: gj -< g2 (соответственно: gj =^g2)- Таким образом, отношение gj g, означает, что в каждой точке из M световой конус метрики gj меньше светового конуса метрики g2. Можно показать, что (М, g) устойчиво причинно в том и только том случае, когда существует причинная метрика gj ? Lor (M)v для которой g gx.
Непрерывная функция /: M —>- R называется глобальной функцией времени, если / строго возрастает вдоль каждой направленной в будущее непространственноподобной кривой. Пространство-время (М, g) допускает глобальную функцию времени тогда и только тогда, когда оно устойчиво причинно (см. Хокинг (1968), Зейферт (1977)). Однако в общем случае для устойчиво причинного пространства-времени нет способов естественного выбора функции времени.
Пусть /: M -V R — гладкая функция, градиент Vf которой всегда времениподобен. Если 7: (a, b) -v M —направленная в будущее непространственноподобная кривая, касательный вектор у' (t) которой нигде не обращается в нуль, то величина g (Vf (у (0)> У' (O) ~= у' (0 (/) должна быть либо всегда положительной, либо всегда отрицательной. Поэтому / должна быть или строго возрастающей вдоль у, или строго убывающей. Отсюда следует, что / должна быть строго возрастающей или строго убывающей вдоль всех направленных в будущее непространственноподобных кривых. Значит, / либо —/ является гладкой глобальной функцией времени на М. Более того, градиент?/ должен быть ортогонален ко всякой поверхности уровня функции /: /¦1 (с) = \р ? М: f (р) = с}, с ? R. Эти поверхности уровня представляют собой пространственноподобные гиперповерхности, ортогональные вре-мениподобному векторному полю (то, что поверхности уровня пространственноподобны, означает, что ограничение g на каждую из них является положительно определенной метрикой). В силу того что градиент функции / невырождается и является точной 1-формой, поверхности уровня [f'1 (с): с Є R} расслаивают мно-2* 36
