Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 2.15. Кривая у называется предельной кривой последовательности JynI, если существует подпоследовательность \у1П\, такая, что для всех точек р в образе у выполняется следующее условие: каждая окрестность точки р пересекается со всеми, за исключением (не более чем) конечного числа кривых подпоследовательности 5y„,}. Эта подпоследовательность {ут} называется выделяющей предельную кривую.
В общем случае последовательность |y„} может либо не иметь предельных кривых, либо иметь много предельных кривых. Это справедливо и в том случае, если кривые последовательности {у,,} непространственноподобны. Более того, даже в причинных пространствах кривая, предельная для последовательности непространственноподобных кривых, не обязательно является не-пространственноподобной. Например, кривая у (и) — (0, 0, и) в примере Картера (см. рис. 2.2) не является непространственно-подобной, хотя она и является предельной кривой для любой последовательности непродолжаемых изотропных геодезических, содержащихся во множестве t — 0.
С другой стороны, для сильно причинных пространств справедливо следующее утверждение.
Лемма 2.16. Пусть (M, g) — сильно причинное пространство-время. Если у — предельная кривая для последовательности |y„} непространственноподобных кривых, то у непространственно-подобна.
Доказательство. Покроем у локально конечным набором \Uk\ выпуклых нормальных окрестностей, таких, что для каждого k никакая непространственноподобная кривая, покидающая Uh, никогда не возвращается. В силу того что причинная связь транзитивна, достаточно показать, что кривая у (~| Uk является непространственноподобной для каждого k. 2.3. Предельные кривые и С-топология на кривых:
39
Пусть \ут] — та подпоследовательность последовательности {Vnb которая выделяет у. Для любой пары точек р, q ? у f| Uh можно найти последовательности \рт\ и \qm\, такие, что рт, qm Є Tm для любого т и рт -> р, qm -> q. По построению Uk и вследствие предположения о том, что каждая кривая ут непро-странственноподобна, точки рт и цт причинно связаны в Uh для всех достаточно больших т. Переходя к пределу, получаем, что р н q причинно связаны в Uh. Так как это выполняется для любой пары р, q ? у [~] Uh, т0 кривая у Pt Uh является непро-странственноподобной. ?
Понятие предельной кривой тесно связано с хаусдорфовым замкнутым пределом. Пусть |Л„} — произвольная последовательность подмножеств из M (не обязательно кривых). Хаусдор-фовы верхний и нижний пределы последовательности |ЛН| определяются так:
Iim sup \Ап\ -—- \р ? М: каждая окрестность точки р пересекается с бесконечным числом множеств Ап\
и
lim inf |Л„| — \р ? М: каждая окрестность точки р пересекается со всеми множествами An, кроме, может быть, конечного
числа}
(см. Буземан (1955, с. 23)). Хаусдорфовы верхний и нижний пределы всегда существуют и являются замкнутыми подмножествами, хотя, может быть, и пустыми. Ясно, что Iim inf сг сг Iimsup {Ап\. Если эти пределы равны, то определен хаус-дорфов замкнутый предел последовательности {Л,,}, обозначаемый через Iim {Лп}:
Iim = Iim inf \Ап\ = Iim sup (An j.
Предельная кривая у последовательности кривых [уп\ содержится в хаусдорфовом верхнем пределе Iim sup {у^}. Кроме того, кривая у является предельной кривой последовательности \уп\ в том и только том случае, когда для некоторой подпоследовательности \ут\ последовательности |у„} выполняется соотношение у er Iim inf {ут\.
Обратимся теперь к доказательству существования непро-странственноподобных предельных кривых для последовательностей \уп] непространственноподобных кривых, имеющих точки накопления (предложение 2.18). Этот результат — важнейший инструмент в теории причинности общей теории относительности — является следствием теоремы Ардела (теорема 2.17), к которой можно обратиться, так как непространственноподобные кривые локально удовлетворяют условию Липшица. 40
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
Пусть U — выпуклая нормальная окрестность пространства-времени (М, g) с компактным замыканием D, которое содержится в карте (V, х) с локальными координатами х = (X1, ..., х„), такими, что функция / = X1: U -> IR имеет на U времениподобный градиент V/. Тогда / — функция времени на U, и если с лежит в образе /, то множество уровня /-1 (с) является пространственноподобной гиперповерхностью в U. Для достаточно малой окрестности U существует постоянная ^0 > 0, такая, что g <( g„ на U, где g0 — плоская метрика на U, задаваемая формулой
п
go = -і' H dxI-
/=2
Кроме того, каждая непространственноподобная кривая у в U, соединяющая точки р, q ? U, связанные отношением f (р) < / (q), может быть перепараметризована так, что в локальных координатах кривая у будет задаваться следующим образом: у (t) = = (/, Xa (/), ..., Xn (/)) для всех удовлетворяющих условию f (р) < t < / (q). Вследствие того что кривая у непространствен-ноподобна как для метрики g0, так и для метрики g, она удовлетворяет условию Липшица вида
Il Y -Y Cs) I12C^1 (2-1)
Здесь для вычисления выражения в левой части мы используем заданные локальные координаты
