Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В этом разделе мы рассмотрим связь между причинной разде-ляемостью,^ непространственноподобной геодезической неполнотой и точками причинной границы дсМ (разд. 5.4), в которых эта граница дифференцируема. Многие из наиболее важных про-
M=S1X к 11.5. Гладкие границы
351
странственно-временных многообразий, изучаемых в общей теории относительности, имеют причинные границы, дифференцируемые в большом числе точек. Например, дифференцируемая часть причинной границы пространства-времени Минковского состоит из
и (рис. 4.4). Так как эти множества соответствуют изотропным гиперповерхностям, то естественно называть точки из
и изотропными граничными точками. Пенроуз (1968) применил для изучения гладких граничных точек пространства-времени Минковского и других пространственно-временных многообразий конформные методы.
Рассмотрим пространство-время (Al, g) с причинной ~ границей дсМ. Обозначим через A4* причинное пополнение M U U дсМ пространства-времени (Л1, g). Это пополнение допускает задание на нем хаусдорфовой топологии, причем так, что исходная топология на M согласуется с топологией, индуцированной на M как подмножестве М* (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 244—245) или разд. 5.4).
Предположим, что р ? д,.М. Пусть U* = U* (р) — окрестность р в М. Обозначим через (U, g) метрику g, ограниченную на множество
U=U* П м.
Конформным представлением окрестности U* (р) назовем про-странство-время (A4', g') и гомеоморфное вложение /: U* —>-
M', такое, что
(1) /| U — гладкое отображение.
(2) Существует гладкая функция Q: U R, у которой Q > О и Qg = /*g' на U (рис. 11.6).
Если конформное представление /: U* M' отображает U* в гладкое многообразие с границей, то мы будем говорить, что р — гладкая граничная точка.
Определение 11.49. Пусть U* (р) имеет гладкое конформное представление /: U* такое, что / (U) — гладкое многооб-
разие с гладкой границей д (/ (U)) в M'. Тогда точка р называется гладкой пространственноподобной (соответственно изотропной, времениподобной) граничной точкой, если соответствующая граница д (/ (U)) является пространственноподобной (соответственно изотропной, времениподобной) гиперповерхностью в (M', g').
Если у: [а, Ъ) M — кривая в М, у которой у (t) —>- р ^ (z M*\U при t Ь, то говорят, что кривая имеет граничную точку р (j М* в качестве концевой точки. Если же р является гладкой пространственноподобной граничной точкой, то в M нетрудно найти компактное множество К, которое должно пересекать все непродолжаемые непространственноподобные кривые С одной концевой точкой в р. В самом деле, в качестве К можно JlO
Гл. 11. Сингулярности
M
Рис. 11.6. Пространство-время (М, g) имеет причинную граничную точку р, и U* (р) является окрестностью р в причинном пополнении М* = M U дсМ пространства-времени (M, g). Гомеоморфное вложение /: U* ->- M' представляет собой гладкое конформное отображение на U=U* (р) П М.
Рис. 11.7. Показано пространство-время с гладкой пространственноподобной граничной точкой р. Компактное множество К выбрано так, что каждая непространственноподобная кривая у с одной концевой точкой в р должна пересекать К. 11.5. Гладкие границы
353
Рис. 11.8. Показана замкнутая космологическая модель Робертсона—Уокера, конформно эквивалентная подмножеству статической вселенной Эйнштейна. Множество К является причинно разделяющим множеством.
-а м
-м
-э см
взять комлактную ахрональную пространственноподобную гиперповерхность с границей (рис. 11.7 и 11.8). Более того, для любой заданной окрестности U* (р) точки р в М* компактное множество К можно выбрать так, чтобы оно лежало в U =
= и* (р) п м.
Лемма 11.50. Если (М, g) — пространство-время с гладкой пространствгнноподобной граничной точкой, то (М, g) причинно разделяемо.
Доказательство. Пусть р — гладкая пространственноподобная граничная точка пространства-времени (М, g). Выберем компактное ахрональное множество К так, чтобы любая непродолжаемая непространственноподобная кривая, имеющая р единственной концевой точкой, должна была встретить К¦ Пусть у: (—оо, оо) —>- (М, g) — непродолжаемая непространственноподобная кривая с концевой точкой р. Положим рп = у (—п), = у (п) для каждого п. Точки рп и qn для всех больщих ц JlO
Гл. 11. Сингулярности
причинно разделяемы множеством К', см. доказательство предложения 11.42. ?
Теорема 11.51. Пусть (УИ, g)—хронологическое пространство-время размерности ^3, удовлетворяющее типовому и сильному энергетическому условиям. Если у (УИ, g) есть гладкая простран-ственноподобная граничная точка, то (УИ, g) непространственноподобно неполно.
Доказательство следует из леммы 11.50 и теоремы 11.41.П
Заметим, что если (УИ, g) имеет одну гладкую пространственноподобную (соответственно изотропную, времениподобную) граничную точку, то (УИ, g) имеет несчетное множество гладких пространственноподобных (соответственно изотропных, времениподобных) граничных точек. Если р ? дсМ соответствует точке X f д (/ (U)) при данном конформном представлении /: U* УИ' (см. определение 11.49), то точки у ? (/ (U)), близкие к х, также представляют собой гладкие пространственноподобные (соответственно изотропные, времениподобные) граничные точки в дМ при заданном конформном представлении и д (/ (U)) имеет в УИ' размерность п— 1. Следовательно, УИ содержит несчетное множество гладких пространственноподобных граничных точек. Используя тот факт, что причинно разделяемое множество К можно выбрать произвольно близко к любой гладкой пространственноподобной граничной точке р, а также то, что в сильно причинном пространстве-времени предел максимальных кривых максимален, можно получить следующий результат.
