Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичные рассуждения показывают, что если (М, g) изотропно неполно и Е~ (H) компактно, то множество S = E~ (H) П П H является ловушечным для прошлого. Таким образом, предложение доказано. ?
Вполне возможен случай, когда ловушечное множество состоит из единственной точки. Это можно установить, например, таким путем (см. Хокинг и Пенроуз (1970), с. 543), Хокинг и Эллис (1977, с. 297—298)). Пусть (М, g) — пространство-время размерности Ss3, удовлетворяющее условию кривизны Ric (v, v) ^s 0 для всех изотропных векторов V ? TM. Предположим, что найдется такая точка р, что на каждой направленной в будущее изотропной геодезической ?: [0, а) (М, g), у которой ? (0) = р, расхождение 0 лагранжева тензорного поля Л на G (?), удовлетворяющего условиям А (0) = 0, А' (0) = Е, становится отрицательным для некоторого I1 > 0. Интуитивно ясно, что каждая направленная в будущее изотропная геодезическая, исходящая из точки р, имеет в будущем точки р точку ? (Z1), в которой сходятся все направленные в будущее изотропные геодезические. Поэтому, если данная изотропная геодезическая ? может быть продолжена до значения Z1 — (п — 2)/0 (Z1) параметра t, то на ? существует 11.4. Существование сингулярностей
349
точка, изотропно сопряженная точке t = t1 в будущем. Значит, ? (0 € I+ (р) Для всех t^Szti — (п — 2)/0 (ix). Из того, что множество изотропных направлений в р компактно, вытекает, что множество E+ (р) = J+ (р)\/+ (р) является компактным при условии, что (УИ, g) изотропно геодезически полно. Тем самым мы получили следующий результат.
Предложение 11.46. Пусть (УИ, g) — пространство-время размерности ^3, у которого Ric (о, v) ^ 0 для всех изотропных V ^ ТУИ. Предположим, что существует точка р ? УИ, такая, что на каждой направленной в будущее изотропной геодезической ?, исходящей из р = ? (0), расхождение 0 лагранжева тензорного поля А на G (?), подчиненного условиям А (0) = 0, А' (0) = Е, становится отрицательным при некотором Z1 > 0. Тогда выполняется по крайней мере одно из следующих утверждений:
(1) \р\ —ловушечное множество, т. е. E+ (р) = J+ (р)\/+ (р) компактно.
(2) (УИ, g) изотропно неполно.
Рассмотрим теперь случай, когда S является компактной связной пространственноподобной гиперповерхностью в (УИ, g). Если S ахронально, то E+ (S) = S и, значит, S — ловушечное множество. С другой стороны, S может и не быть ахрональным. В самом деле, можно легко построить пример компактной пространственноподобной гиперповерхности S, для которой Sd/+ (S) и, следовательно, E+ (S) = 0 (рис. 11.5).
Компактную пространственноподобную гиперповерхность S, не являющуюся ахрональной, можно использовать для построения ахрональной замкнутой пространственноподобной гиперповерхности S в накрывающем M многообразии УИ (см. Герок (1970), Хокинг (1967, с. 194), О'Нейл (1981)). Поэтому, если простран-ство-время имеет компактную пространственноподобную гиперповерхность, то существует накрывающее многообразие исходного пространства-времени, которое содержит ловушечное множество. Однако при доказательстве непространственноподобной неполноты (УИ, g) с накрывающими многообразиями для (УИ, g) можно работать так же, как и с (УИ, g), вследствие того что (УИ, g) является непространственноподобно неполным в том и только том случае, когда каждое многообразие, накрывающее (УИ, g), наделенное метрикой расслоенного произведения, непространственноподобно неполно.
Эти свойства накрывающих пространств вместе с теоремой 11.44 и предложениями 11.45, 11.46 приводят к следующей теореме.
Теорема 11.47. Пусть (М, g) — хронологическое пространство-время размерности ^3, удовлетворяющее типовому условию JlO
Гл. 11. Сингулярности
Рис. 11.5. Пусть на M = S1 X S1 задана лоренцева метрика ds2 = dQ\ — dB%. Множество 5 = {(6Ь 0): O1 6 Є S1J является компактным пространственноподобным подмногообразием коразмерности 1 и таким, что E+ (S) = = 0. Здесь S не является ловушечным множеством вследствие того, что оно не ахронально. Тем не менее существует накрывающее многообразие (M, g) пространства-времени (M, g), которое содержит ловушечное множество S, диффеоморфное S.
и сильному энергетическому условию. Тогда пространство-время (М, g) является непространственноподобно неполным, если выполнено одно из следующих условий:
(1) (М, g) имеет замкнутую ловушечную поверхность.
(2) (М, g) содержит точку р, такую, что все изотропные геодезические, начинающиеся в р, сходятся где-то в будущем (или прошлом) точки р.
(3) (М, g) содержит компактную пространственноподобную гиперповерхность.
Замечание 11.48. Условия (1) и (2) теоремы 11.47 являются вполне обоснованными космологическими допущениями. Пространства Робертсона—Уокера с физически допустимыми тензорами энергии-импульса, положительной плотностью энергии и Л = 0 содержат замкнутые ловушечные поверхности (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 392)) и поэтому удовлетворяют условию (1). Есть также некоторые астрономические основания и для условия (2) (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 395)).
11.6. Гладкие границы
