Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 11.52. Пусть (УИ, g) — сильно причинное пространство-время размерности ^3. Допустим, что (УИ, g) имеет гладкую пространственноподобную граничную точку и удовлетворяет типовому и сильному энергетическому условиям. Тогда для любой гладкой пространственноподобной граничной точки р найдется неполная непространственноподобная геодезическая, которая является непродолжаемой и имеет концевую точку р. Таким образом, (УИ, g) имеет несчетное множество неполных непродолжа-емых непространственноподобных геодезических.
Доказательство. Из предыдущих замечаний следует, что (УИ, g) содержит ""неполную непространственноподобную геодезическую для каждой гладкой непространственноподобной граничной~"то-чки. Но мы уже отмечали, что если (УИ, g) содержит одну пространственноподобную граничную точку, то оно содержит и несчетное множество таких точек. ? 359 Добавление В
СВЯЗНОСТИ И КРИВИЗНА
Пусть (М, g) — (псевдо)риманово многообразие произвольной сигнатуры (—, ..., —, + , ...., +). Тогда существует единственная аффинная связность V на М, которая согласуется с метрикой g и не имеет кручения. Эта связность, которая называется связностью Леви-Чивита, удовлетворяет одним и тем же соотношениям вне зависимости от того, является (М, g) римановым или псевдоримановым многообразием.
Поэтому для псевдоримановых многообразий геодезические, кривизну, кривизну Риччи, скалярную кривизну и секционную кривизну можно определить в точности так же, как и для римановых метрик. Единственная возникающая при этом трудность состоит в том, что секционная кривизна не определена на вырожденных сечениях касательного пространства, если (М, g) — многообразие непостоянной кривизны. На самом деле в случае постоянной кривизны секционная кривизна вблизи вырожденных сечений лишь ограничена (разд. А.2).
В этом дополнении мы кратко рассмотрим аффинные связности, псевдоримановы многообразия и тензоры кривизны. Используя естественный базис д/дх1, ..., д/дхп, введем их представление в локальных координатах для произвольной карты (U, х) на М. Мы покажем также, что если (М, g)—двумерное лоренцево многообразие, то Ric (о, v) = О для всех изотропных векторов v из TM.
А.1. Аффинные связности
Обозначим через J (р) множество гладких векторных полей, область определения каждого из которых содержит точку р ? M, а через Ж (M) множество гладких векторных полей, определенных на всем М. Аффинной связностью в точке р называется функция V Vv, которая каждому вектору v ? TpM ставит в соответствие отображение
V0: Ж (р) ^ TpM, a58 Добавление А
обладающее следующими свойствами:
Ve (X + Y) = VvX + VvY, (А. 1)
Vjv+gw (X) = fVvX + g VwX, (А .2)
Vv(fX)=fVvX + v(f)X. (А.З)
Здесь / и g — гладкие функции, области определения которых содержат точку р; v, w f TpM; X, Y, f $ (р).
Аффинной связностью на M называется функция, которая каждой точке р ? M ставит в соответствие аффинную связность V в точке р так, что для любых X, Yf Ж (M) отображение
VxF: P^Vk(P)Y является гладким векторным полем на М.
Вектор Vx (р) Y = VxY Ip в точке р ? M зависит только от X (р) и от значений Y вдоль любой гладкой кривой, проходящей через точку р и имеющей в этой точке касательный вектор X (р) (см. Хикс (1965, с. 57)). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим гладкие векторные поля E1, ..., En, определенные вблизи точки р, которые образуют базис касательного пространства в каждой точке некоторой окрестности точки р. Тогда X (р) = LXt (р) Ei (р) и Y = 1LXtEi. Отсюда следует, что
V,vF |Р = Vx(P) (IiYiEl) =
= t Yi (P)Vx (P)Ei + І X (р) (V)E1 (р) =
(=1
= t Xі (P) Y' (P) Ve. (P)Ei 4- ? X (р) (Yi) Ei (р). с, /=і 1 i=l
Тем самым величины Х> (р), Y1 (р) и X (р) (Yi) полностью определяют VxY \р, если известны Ve.(P)E;.
По заданной на M аффинной связности V можно определить параллельный перенос векторных полей вдоль данной кривой у: [а, Ь] ->- М. Под векторным полем Y вдоль у понимается гладкое отображение Y: [а, Ь]->-ТМ, такое, что Y (t) f Ty (І)М для каждого t f [а, Ъ]. Для t0 f [а, Ь] можно продолжить Y до гладкого векторного поля, определенного в окрестности точки у (t0). Тогда можно рассматривать векторное поле Vy (t)Y вдоль у, определенное в этой окрестности. Согласно сказанному вначале предыдущего абзаца, это векторное поле вдоль у не зависит от локального продолжения, и, следовательно, V7-F — корректно определенное векторное поле вдоль у. Говорят, что векторное поле F вдоль у, удовлетворяющее равенству Vv-F (t) = = 0 для всех t f [а, Ь], получено посредством параллельного переноса вдоль у. Геодезическая с: (a, b) M — это гладкая кри- СвязносгНи и кривизна 357
вая на М, касательный вектор с' которой параллельно переносится вдоль с. Другими словами, если
Ve*' = О, (А. 4)
то с является геодезической. Предгеодезической называется гладкая кривая с, которая путем перепараметризации может быть сделана геодезической. Любой параметр, для которого с является геодезической, называется аффинным параметром. Если s и t — два аффинных параметра для одной и той же геодезической, то s = = at + b для некоторых постоянных a, b Q R, а Ф 0. Предгеоде-зическая с называется полной, если для некоторых (а следовательно, и для всех) аффинных параметризаций область изменения параметра совпадает с R.
