Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Г?,-= 4- Ygak (^7-+Ляі.-JiU-), (А. 17)
'' 2 ^jS ( Т дхг дха J' v '
где g'V есть (2, 0)-тензор, определяемый из соотношений
?2—1
Локальное представление тензоров gи g^ можно использовать для поднимания и опускания индексов. Например, если опустить верхний индекс тензора кривизны, то мы получим компоненты тензора Римана—Кристоффеля
Rijkm= IigaiR-, km- (А. 18)
а=1
С другой стороны, тензор Римана—Кристоффеля R можно определить как (0,4)-тензор, такой, что
R (W, Z, X, Y) = g (W, R (X, Y) Z). (А.19)
Следом тензора кривизны является симметричный (0, 2)-тен-зор — кривизна Риччи. Для каждой точки р Q M кривизну Риччи можно рассматривать как симметричное билинейное отображение Ricp: TpM X ГрУИ->R. Для вычисления Ric (у, w) выберем, в TvM ортонормированный базис ех, ..., еп. Тогда
п п
Ric (V, W) = ? g (еь et) g (R (et, w) V, е{) = ? g (et, R (eh v, еІУ w). f=i f=i
(A. 20) СвязносгНи и кривизна
361
С другой стороны, разложив векторы v и w по естественному базису V = ^1Vi д/дх', w = J^wi д/дх1, получим, что
п
Ric (у, w)= H Rif'wi, (А.21)
с, /=-1
где
Rii = E Riai- (А.22)
а=1
Тензором Риччи называется (1, 1)-тензорное поле, соответствующее кривизне Риччи. Компоненты тензора Риччи можно получить, поднимая у кривизны Риччи один индекс. Вследствие того что кривизна Риччи симметрична, эту операцию можно проделать с любым индексом. Поэтому
SaiRai=ZgaiRia- (А.23)
o=1 а—1
Следом тензора Риччи является скалярная кривизна т. Исторически сложилось так, что эта функция обозначается многократно используемым символом R. Соответственно этому
T = ?=J]/C (А. 24)
а=1
Тем самым, если ег.....еп — ортонормированный базис в TvM, то
п
X = R=Zg (еи Єі) Ric (eh С|). (А. 25)
i=i
Двумерное линейное подпространство E пространства TvM называется плоским сечением. Плоское сечение E называется невырожденным, если для каждого ненулевого вектора v ? E существует вектор п ? E, такой, что g (v, п) ф 0. Это эквивалентно требованию, что gp |в — невырожденное скалярное произведение на Е. Если векторы v и w образуют базис невырожденного плоского сечения Е, то отлична от нуля величина g (v, v) g (w, w) — — [g (v, w) ]2, представляющая собой квадрат псевдоевклидовой площади параллелограмма в Е, определяемого векторами v и w. Секционная кривизна К (р, Е) невырожденного плоского сечения E с базисом {у, задается по правилу
к (р, Е) = , e mw,v)v, W)— А 26)
Эта величина не определена на вырожденных плоских сечениях вследствие того, что знаменатель в формуле (А.26) для вырожденных плоских сечений всегда равен нулю. a58
Добавление А
Если V = ^vi д/дх1 и W = ^wi д/дх' — базис невырожденного плоского сечения ^E, то соотношение (А.26) можно переписать в следующем виде:
К(п л—_S RljkmWi yiwkVm__Д2
] IiBiFiV'IlghmWkWm-(Z B^Wf ¦ Псевдоримановы многообразия, секционная кривизна которых одинакова по всем (невырожденным) плоским сечениям, называются многообразиями постоянной кривизны. Если (M, g) — псевдори-маново многообразие постоянной кривизны с, то
R{X, Y)Z = с [?(Г, Z) X-g(X, Z) Y]
(см. Грейвус и Номидзу (1978, с. 268)).
Невырожденная плоскость E называется времениподобной, если она натянута на пространственноподобный и времениподобный касательные векторы. Можно показать, что если секционные кривизны ограничены и сверху, и снизу и dim M 5> 3, то (M, g) имеет постоянную кривизну (см. Харрис (1979, добавление А)). Поэтому совсем неясен лоренцев аналог понятия «защемленного риманова многообразия» (см. Чигер и Эбин (1975, с. 118)). С другой стороны, можно построить семейства лоренцевых многообразий, конформных пространствам постоянной кривизны, у которых все времениподобные секционные кривизны ограничены в одном направлении (см. Харрис (1982)). Однако если секционная кривизна по всем невырожденным плоскостям ограничена сверху (или снизу), то секционная кривизна постоянна (см. Кулкарни (1979)). Поэтому необходимо ограничить внимание только времени-подобными плоскостями.
Градиент для псевдоримановых многообразий определяется в точности так же, как и для римановых многообразий. Если /: M -> К — гладкая функция, то df — это (0, 1)-тензор на M и grad /— (1, 0)-тензорное поле, соответствующее df. Тем самым для произвольного векторного поля Y имеем
Y (/) = (df, Y) (grad/, Y). (А.28)
В локальных координатах векторное поле grad / представляется следующим образом:
^i= t*" -В--5Г- Ca-29'
і. /=1
А.З. Изотропная кривизна Риччи в двумерных многообразиях
Псевдориманово многообразие (M, g) сигнатуры (1, п— 1) (т. е. сигнатуры (—, +, •••, +)) является лоренцевым многообразием. В этом разделе мы покажем, что в двумерном лоренце- СвязносгНи и кривизна
363
вом многообразии для любого изотропного вектора v выполняется равенство Ric (v, v) = 0.
Предложение А.1. Пусть (М, g) — двумерное лоренцево многообразие. Если V — изотропный вектор, то Ric (v, v) = 0.
Доказательство. Зафиксируем в M произвольную точку р. Пусть ех, е2 — ортонормированный базис TpM, причем g (elt et) = = —1 и g (е2, е2) = +1. Билинейность Ric (¦, ¦) означает, что для доказательства сформулированного утверждения достаточно показать, что Ric (v, v) = Ric (w, w) = 0 для линейно независимых изотропных векторов V = C1 + е2 и w = ех — е.г. Ввиду того что доказательства для v и w похожи, приведем только обоснование равенства Ric (v, v) == 0 для вектора v = ех + е2.
