Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма Б.З. Пусть с: (а, Ь) ->¦ M—времениподобная |гесде-зическая и Ric (с', с') ф 0 в некоторой точке с. Тогда с удовлетворяет типовому условию.
Доказательство. Можно предполагать, не теряя обшности, что с имеет единичный вектор скорости. Допуская, что Ric (c' (Z0), с' (4)) Ф 0, выберем в пространстве Tc (<о) M ортонормированный базис е2.....еп = с' (Z0)Тогда при Z = Z0 имеем
п
Riefe', c')=Zg(eh e;)g(R(eh с')с', е,).
C=1
Из того, что R (с', с') с' = 0, получаем
RiC (c', O=H g(R(et, с') с', е,)=% Rinin-
I-=I C=1
Тем самым условие Ric (с', с') Ф 0 означает, что для некоторого і ? |1, ..., п— 1} выполняется неравенство [Rinin ф 0. Сформулированный результат вытекает из леммы Б.1. ?
Рассмотрим теперь типовое условие для изотропной геодезической ?: (а, Ь) М. Для каждой точки р на ? существуют параметризация ?, ортонормированный базис Ie1, ..., еп_2, ёп_д, ёп] пространства TpM и изотропный вектор N ? TpM, такие, что
_ ?'+^ _ ?'-^V
п~ VT ' "-1 ]f2i
в точке р. Здесь ёп — единичный времениподобный вектор в базисе еи ..., е„_2> ёп_ъ ёп]. Легко" убедиться в том, что
g(?', N) ' = g(en, ёп) = —1, так что \еи е2..... en_2, N, ?'} —
псевдоортонормированный базис пространства TpM. Метрический Типовое условие
367
тензор в точке р в этом псевдоортонормировэнном базисе имеет вид
gij = 8І}, если 1 с г, j < п — 2, Sn, 71-1 ~ Sn-I, П = 1 > Snn — Sn-I, п-1 = О'
Исполь уя этот базис, покажем, что типовое условие для ? в р равносильно тому, что Rbnne Ф 0 для некоторых 1 < Ь, е < <п — 2.
Лемма Б.4. Пусть р = ? (4) — точка изотропной геодезической ? и \ех, ..., еп_2, N, ?'} —псевдоортонормированный базис пространства TpM, определенный выше. Если компоненты тензора Римана—Кристоффеля заданы относительно этого базиса, то ? удовлетворяет типовому условию при t = 4 тогда и только тогда, когда Rbnne Ф Об точке ? (4) для некоторых 1 < b, е < п — 2.
Доказательство. Обозначим через N (? (4) (п — 1)-мерное линейное пространство векторов, ортогональных ?' (4). Тогда
\ех.....е„_2, ?'} — базис N (? (^)). Положим G (? (4)) —
= Л^ (? (4))/[?'(4)1 и обозначим через я: JV (? (4)) > G (? (4)) естественную проекцию. Напомним, что эндоморфизм кривизны /?(•, ?') ?': G (? (4)) ->- G (? (4)) определяется правилом R (V, ?') ?' = я°R(v, ?') ?', где V — произвольный вектор из я-1 (V) (см. формулу (9.34) разд. 9.3).
Предположим теперь, что типовое условие вдоль ? удовлетворяется при t = 4- Тогда найдется вектор V1 ? N (? (4)), для которого R (я (V1), ?') ?' = я°R (vu ?') ?' Ф 0. Из равенства R (?'. ? ) ?' = 0 и трилинейности R вытекает, что для некоторого 1 < і п — 2 справедливо неравенство я °R (eh ?') ?' Ф 0. Вследствие того что факторметрика g на G (? (4)) не вырождена, найдется вектор w ^ G (? (4)), для которого ^(ш, я ° R (еи ?')x X ?') Ф 0. Значит, существует номер j (1 < / п— 2), такой, что Rjnin --= g (ej, R(eu ?') ?') ф0.
Обратно, предположим, что Rjnin ф 0 для некоторых 1 < і, j С п. Легко убедиться B том, что g (R (я (?j), ?') ?', Я (ej)) Ф 0, и, следовательно, эндоморфизм R (•, ?') ?': G (? (4)) G (? (4)) не равен нулю тождественно. ?
Покажем, что соотношение (Б.1) описывает типовое условие вдоль изотропных геодезических.
Предложение Б.5. Изотропная геодезическая ? с касательным вектором W = ?' удовлетворяет типовому условию при t = 4 тогда и только тогда, когда
WcWdWlaRb] OdieWn Ф 0
в точке ? (4). 368
Добавление Б
Доказательство. Не теряя общности, можно предполагать, что компоненты тензора Римана—Кристоффеля заданы относительно построенного выше псевдоортонормированного базиса \е1У ..., еп-2, N, ?' (Z0)K Если W = ?', то его компоненты в этом базисе и соответствующем дуальном кобазисе суть W1 — • • • = W"-' = = Wi Г„_2 =- W„ = 0, Wn = +1, Гп_! - —1. Сле-
довательно,
WWdWlaRhlcdieWn = -^[бГ'^/^бГ' - &ь~1 Ranncb"-1 -
6П—\ Г) КП — 1 ! R"-In Rrt-Il
a i\bnnjOe ,Oi KannfOe J-
Это выражение равно нулю, если хотя бы один из индексов a, b, е или f равен п. Кроме того, если оно отлично от нуля, го в точности один из индексов а или b должен быть равен п — 1 и ровно один из индексов е или [ должен быть равен п — 1. Отсюда следует, что WcWdW[aRb]cd[eWf] Ф О тогда и только тогда, когда Rbnne Ф О для некоторых Ь, е, связанных условием 1 с b, е < п — 2, и сформулированное утверждение вытекает из леммы Б.4. ? Докажем теперь изотропный аналог леммы Б.З.
Лемма Б.6. Пусть ? — изотропная геодезическая и Ric (?' (Z0), ?' (Z0)) ф 0. Тогда ? удовлетворяет типовому условию при Z = Z0.
Доказательство. Используя ортонормированный базис Ie1, ..., еп-2. ёп-и ёп\, определенный выше, вычислим прежде всего Ric (?' (Zu), ?' (Z0)):
Ric (У (Z0), ?' (Z0)) = 5 g (еи et) g (eh R (elt ?') ?') + i=i
+ І gpi, h)g(?i, R (tu ?')?')-
t=n — 1
Используя те же рассуждения, что и при доказательстве предложения А. 1 дополнения А.З, можно показать, что
I1 g\K 2i)g(*t, R (К ?')?')=o.
t=n—1
Следовательно,
Ric (?' (Z0), ?' (Z0)) = (e„ R (e„ ?')?') = SRtntn.
і=і і=і Типовое условие
