Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 9

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 87 >> Следующая


равно 2a+b~e~d, если -TtCargzCn1 и равно

,уи-fr-c-d sin [тс (z + Q] sm Нг + гі)1 1 г sin [it (z 4- а)\ sin [it (г + Ь)] *

если — я < arg (— z) < я

Рассмотрим на плоскости г последовательность конпентрических окружностей радиусов г„ таких, что расстояние каждой из окружностей от множеств нулей функций sin [п (z 4- a)], sin \it(z -(- ?)] и sin (nz) превосходит фиксированное положительное число. На этих окружностях выражение

sin (ZZ + пс) sin (zz + ltd) ЯП (TtZ sin (jcz 4- itb) '

ограничено, причем верхняя граница не зависит от га. Следовательно, интегралы

'-е-*Idz, В!е(а-Ь& — с — d)c — 1,

взятые вдоль этих окружностей, стремятся к нулю, когда г„—>оо. Поэтому сумма всех вычетов функции /(г) равна нулю, и, таким образом, S равно сумме вычетов в полюсах функций Г(г-|-а) и ГСг-J-ft), взятой с обратным знаком. Вычет /(г) в полюсе Z =—(а + т), т = О, 1, 2, ... , равен

(— IV" , . . Г (Ь — а — т)

— * т! 8 (ЯЛ> Г (с — а — m)T(d — а — т)'

а потому сумма вычетов в полюсах функции Г (г+ о), в силу формулы Гаусса 2.1 (14), равиа

в8 ctg (za)__T(c + d — а— b— 1)_

— sin [я(а — 6)] Г(с— a)T(d — а)Т(с — b)T(d — Ь)'

Чтобы получить сумму в полюсах функции Г (z -(- b), достаточно в полученном выражении вместо а написать b, а вместо b написать а. Ясно, что сумма двух получившихся выражений равна (1). Формула

OO

2 (-1^-Hx + = ГГ(і+у) = В УЇ (2>

л=о

легко проверяется путем разложения подынтегрального выражения в формуле 1.5(1) в степенной ряд и почленного интегрирования.

Кроме того, справедливы следующие формулы (доказательство см. в 2.4):

п=о

г(,_і+|_г)г(,_»+|+г) г« <3. ¦БЕТА-ФУНКЦИЯ 23

- rw у w»і п -Г I

Я — О

I у (а)я(1-с + а)„ (a \-t

*+"Г(1+а —й)Г(с —в) (1 — & + а)„Ш ^ J '

я=о

Re (a + & — с) < 1 (4)

(определение (а)д см. стр. 67).

1.5. Бета-функция

Бета-функция определяется с помощью интеграла 1

В(*, у)= ^ ^'(1 — ty~l dt, Re л: > О, Rey>0. (1)

о

V

Делая подстановку —, получаем выражение

1 -р V

oo

В(лг, у) =^^(1+0)-*-*^, Re Jf > 0, Re у > 0, (2)

о

из которого легко следует, что і

. В (х, у)=\ (v*-1 + ОУ"1) (1 + v)~*-y dv, Re ЛГ > 0, Re у > 0. (3)

Oj

Отсюда имеем

В (у, х). (4;

Умножив обе части равенства

OO

J--(H-H) t f*+V-l At_

О

(см. 1.1 (4)) на Vx-1, проинтегрировав по v от О до оо и изменив порядок интегрирования, получим

oo oo

I dt je-'<'+1't^y-1 Vх '^=1(*+^ +v)-*-ydv, 24 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I

откуда

в / „ „\ —_

В(*. У) — Ttr-L.„\• (5)

Таким образом, найдено выражение бета-функции через гамма-функцию.

Следующие функциональные уравнения для бета-функции легко выводятся яз равенств (4) и (5) (см. 1.2):

B(*,jf+l) = .?B(jf+l, _у) = _^_В(*, У), (6)

В (jf.jf) В (х + у, г) = В (у, г)В(у + г, х) = В (г, Jf) В (лс -(— г, у), (7) B(*,jf)B(*+jf, *>В(х+,+ ь и^ЩШЩШ, (8)

Tnhtrm > <9>

п, т— целые положительные.

1.5.1. Определенные интегралы, выражаемые через бета-функцию. Многие определенные интегралы легко сводятся с помощью соответствующих подстановок к бета-функциям. Приведем некоторые примеры:

1

В (х, у) = 21~Х~У \ [(1+0*-'(1- +(1+ Ov"1 (1 - «У*-1! dt, (10) О

Re je >¦ 0, Rej^ >0;

і

J ?^1 (1 - ty~l (1 + bt)-x-y dt = (1 + Ъ)-х В (л:, у), (11)

Ь> — 1, Re Jf > 0, Rej> >0;

OO

J t*-1 (1 + btyx~y dt = ь~х В (jf, у), (12)

&>0, Reд:>0, Rejf>0;

а

[ (t— b)*-1 (а — ty-1 dt = (а — Ьу+У'1 В (х, у), (13)

f

Rejf>¦ О, Rejf>0, b<a-,

f У-ЬГ-Ча-ІУ+ d, (а-Ыг* ь

ReJf>0, Rejf>0, c<b<a-, '(t-bf-Ha-t)У (a-b)*+^

-(c-t)*+y-dt-{c-aY(c-by('У)' (l5)

Rex>0, Rejf>0, b<a<c\

cl і 1.5] БЕТА ФУНКЦИЯ 25

та _ X+1

j (1 Л = « (16)

о

z>0; Ь> 0, 0<Re^±i<Rej;;

і

С і*-1 (1 — еу-1 dt = г-» В (XZ-1, у), (17)

oJ

г>0, Rej>>0, Re * > 0;

і

? (1 + tfx-i (1 — tp-i (1 + t*)~x~y dt = 2Х+У~* В (х, у), (18>

Re je > О, Rej; >0.

Подставляя вместо переменной интегрирования тригонометрические и гиперболические функции, получаем интегралы, содержащие эти функции:

1С 2

^ (sin о'*"1 (cos tyy~l dt= і- В (х, у), (19)

Re jc > 0, Rej; >0;

C (sin<)**"'(cosі)*У~1 _ 1 \ (1 + »ein»*)*+* "2" (1 + ?) * В (jc, у),

т

Re jc > O1 Rej;>0, — 1;

f (sin Osjc-1 (сое Os^1 ., 1 ^q , ч

J (cos^ +^Sin^V+-V at = Tb'B(x, у), (21>

о

Rejc>0, Rey>0, »>0;

да

J ch t (sh 0м"1 (1 + Ь sh8 tr*s dt= ^Ъ~*В (х, у), ('22>

Re jc >0, Rej» >О, &>0;

00

J (sh Cf (chO"Prf< = y в Цр), (23)

Rea> —1, Re (я — Р) <с 0;

о»

j e'xt (1 — e-uy~l dt = В , у'), (24)

о

Re^>0, Re z > О, ReT>0;

т і 26

ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I

j г* [sh OOIt dt = p-12-*-l B (1-1 - ~ ъ 1 + ї), (25)

Re7> — I1 Re?>0, Re-^Rer

Jm^-^+T-'-j)-

Re(?±-1)>0, p>0;

oo

1' cos (2zt) .. 1 ,.і

Ihfeirf' = 2Ш' I Imz I < Y; (27)

о

J



Формула (27) известна как формула Рам ану л, дана.

Формулы (12), (13), (17) и (19) вытекают из (h, (11) из (2); (10) и (26) из (3); (14), (15), (20) и (21) из (11); (16) и (22) из (12); (18) из (16); (24) из (17); (23) из (22); (25) из (24); (27) и (28) из (26). Все они получаются путем несложных подстановок или выбора специальных значений параметров. Очевидно, что формулы (И), (20) и (12), (16), (21), (22) остаются справедливыми для всех комплексных значений Ь, если считать, что кочплексная плоскость разрезана по вещественной оси от—1 до — оо или от Одо — оо соответственно.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed