Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
равно 2a+b~e~d, если -TtCargzCn1 и равно
,уи-fr-c-d sin [тс (z + Q] sm Нг + гі)1 1 г sin [it (z 4- а)\ sin [it (г + Ь)] *
если — я < arg (— z) < я
Рассмотрим на плоскости г последовательность конпентрических окружностей радиусов г„ таких, что расстояние каждой из окружностей от множеств нулей функций sin [п (z 4- a)], sin \it(z -(- ?)] и sin (nz) превосходит фиксированное положительное число. На этих окружностях выражение
sin (ZZ + пс) sin (zz + ltd) ЯП (TtZ sin (jcz 4- itb) '
ограничено, причем верхняя граница не зависит от га. Следовательно, интегралы
'-е-*Idz, В!е(а-Ь& — с — d)c — 1,
взятые вдоль этих окружностей, стремятся к нулю, когда г„—>оо. Поэтому сумма всех вычетов функции /(г) равна нулю, и, таким образом, S равно сумме вычетов в полюсах функций Г(г-|-а) и ГСг-J-ft), взятой с обратным знаком. Вычет /(г) в полюсе Z =—(а + т), т = О, 1, 2, ... , равен
(— IV" , . . Г (Ь — а — т)
— * т! 8 (ЯЛ> Г (с — а — m)T(d — а — т)'
а потому сумма вычетов в полюсах функции Г (г+ о), в силу формулы Гаусса 2.1 (14), равиа
в8 ctg (za)__T(c + d — а— b— 1)_
— sin [я(а — 6)] Г(с— a)T(d — а)Т(с — b)T(d — Ь)'
Чтобы получить сумму в полюсах функции Г (z -(- b), достаточно в полученном выражении вместо а написать b, а вместо b написать а. Ясно, что сумма двух получившихся выражений равна (1). Формула
OO
2 (-1^-Hx + = ГГ(і+у) = В УЇ (2>
л=о
легко проверяется путем разложения подынтегрального выражения в формуле 1.5(1) в степенной ряд и почленного интегрирования.
Кроме того, справедливы следующие формулы (доказательство см. в 2.4):
п=о
г(,_і+|_г)г(,_»+|+г) г« <3. ¦БЕТА-ФУНКЦИЯ 23
- rw у w»і п -Г I
Я — О
I у (а)я(1-с + а)„ (a \-t
*+"Г(1+а —й)Г(с —в) (1 — & + а)„Ш ^ J '
я=о
Re (a + & — с) < 1 (4)
(определение (а)д см. стр. 67).
1.5. Бета-функция
Бета-функция определяется с помощью интеграла 1
В(*, у)= ^ ^'(1 — ty~l dt, Re л: > О, Rey>0. (1)
о
V
Делая подстановку —, получаем выражение
1 -р V
oo
В(лг, у) =^^(1+0)-*-*^, Re Jf > 0, Re у > 0, (2)
о
из которого легко следует, что і
. В (х, у)=\ (v*-1 + ОУ"1) (1 + v)~*-y dv, Re ЛГ > 0, Re у > 0. (3)
Oj
Отсюда имеем
В (у, х). (4;
Умножив обе части равенства
OO
J--(H-H) t f*+V-l At_
О
(см. 1.1 (4)) на Vx-1, проинтегрировав по v от О до оо и изменив порядок интегрирования, получим
oo oo
I dt je-'<'+1't^y-1 Vх '^=1(*+^ +v)-*-ydv, 24 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
откуда
в / „ „\ —_
В(*. У) — Ttr-L.„\• (5)
Таким образом, найдено выражение бета-функции через гамма-функцию.
Следующие функциональные уравнения для бета-функции легко выводятся яз равенств (4) и (5) (см. 1.2):
B(*,jf+l) = .?B(jf+l, _у) = _^_В(*, У), (6)
В (jf.jf) В (х + у, г) = В (у, г)В(у + г, х) = В (г, Jf) В (лс -(— г, у), (7) B(*,jf)B(*+jf, *>В(х+,+ ь и^ЩШЩШ, (8)
Tnhtrm > <9>
п, т— целые положительные.
1.5.1. Определенные интегралы, выражаемые через бета-функцию. Многие определенные интегралы легко сводятся с помощью соответствующих подстановок к бета-функциям. Приведем некоторые примеры:
1
В (х, у) = 21~Х~У \ [(1+0*-'(1- +(1+ Ov"1 (1 - «У*-1! dt, (10) О
Re je >¦ 0, Rej^ >0;
і
J ?^1 (1 - ty~l (1 + bt)-x-y dt = (1 + Ъ)-х В (л:, у), (11)
Ь> — 1, Re Jf > 0, Rej> >0;
OO
J t*-1 (1 + btyx~y dt = ь~х В (jf, у), (12)
&>0, Reд:>0, Rejf>0;
а
[ (t— b)*-1 (а — ty-1 dt = (а — Ьу+У'1 В (х, у), (13)
f
Rejf>¦ О, Rejf>0, b<a-,
f У-ЬГ-Ча-ІУ+ d, (а-Ыг* ь
ReJf>0, Rejf>0, c<b<a-, '(t-bf-Ha-t)У (a-b)*+^
-(c-t)*+y-dt-{c-aY(c-by('У)' (l5)
Rex>0, Rejf>0, b<a<c\
cl і 1.5] БЕТА ФУНКЦИЯ 25
та _ X+1
j (1 Л = « (16)
о
z>0; Ь> 0, 0<Re^±i<Rej;;
і
С і*-1 (1 — еу-1 dt = г-» В (XZ-1, у), (17)
oJ
г>0, Rej>>0, Re * > 0;
і
? (1 + tfx-i (1 — tp-i (1 + t*)~x~y dt = 2Х+У~* В (х, у), (18>
Re je > О, Rej; >0.
Подставляя вместо переменной интегрирования тригонометрические и гиперболические функции, получаем интегралы, содержащие эти функции:
1С 2
^ (sin о'*"1 (cos tyy~l dt= і- В (х, у), (19)
Re jc > 0, Rej; >0;
C (sin<)**"'(cosі)*У~1 _ 1 \ (1 + »ein»*)*+* "2" (1 + ?) * В (jc, у),
т
Re jc > O1 Rej;>0, — 1;
f (sin Osjc-1 (сое Os^1 ., 1 ^q , ч
J (cos^ +^Sin^V+-V at = Tb'B(x, у), (21>
о
Rejc>0, Rey>0, »>0;
да
J ch t (sh 0м"1 (1 + Ь sh8 tr*s dt= ^Ъ~*В (х, у), ('22>
Re jc >0, Rej» >О, &>0;
00
J (sh Cf (chO"Prf< = y в Цр), (23)
Rea> —1, Re (я — Р) <с 0;
о»
j e'xt (1 — e-uy~l dt = В , у'), (24)
о
Re^>0, Re z > О, ReT>0;
т і 26
ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
j г* [sh OOIt dt = p-12-*-l B (1-1 - ~ ъ 1 + ї), (25)
Re7> — I1 Re?>0, Re-^Rer
Jm^-^+T-'-j)-
Re(?±-1)>0, p>0;
oo
1' cos (2zt) .. 1 ,.і
Ihfeirf' = 2Ш' I Imz I < Y; (27)
о
J
Формула (27) известна как формула Рам ану л, дана.
Формулы (12), (13), (17) и (19) вытекают из (h, (11) из (2); (10) и (26) из (3); (14), (15), (20) и (21) из (11); (16) и (22) из (12); (18) из (16); (24) из (17); (23) из (22); (25) из (24); (27) и (28) из (26). Все они получаются путем несложных подстановок или выбора специальных значений параметров. Очевидно, что формулы (И), (20) и (12), (16), (21), (22) остаются справедливыми для всех комплексных значений Ь, если считать, что кочплексная плоскость разрезана по вещественной оси от—1 до — оо или от Одо — оо соответственно.
