Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Re©>0H либо |z|s? 1, гф 1, Re s > 0, либо 2 = 1, Res> 1.
Проведем разрез в плоскости 2 вдоль положительной полуоси от точки 1 до со. При Re s > 0 и Re u > 0 функция Ф является аналитической функцией ох г в разрезанной г-плоскостн.
Другое представление в виде определенного интеграла может быть получено нз определения (1) и формулы суммирования Плана 1.9(11)
cS sinUln2 — sarctg-1) (V + t)~sz*dt — 2 \-і-j--У dt, (4)
о (o» + f*)TV*'—1)
Re©>0.
При 2 = 1 снова поаучаем формулу Эр мит а 1.10(7). Полагая в (3) 2 = е", получаем формулу Липшица
/і—l О
О < 6 < 2я, Re s > 0, Re © > — 1.
Функция Ф может быть представлена в виде контурного интеграла
(0+) t t _vt 2я/ Ф (2,5,v)--r(l-s) J dt' (5)
со
Re © > O1 I arg (—f)|«S a.
В этой формуле, как и в аналогичном месте п. 1.6, коитур ие охватывает ни одной из точек t — \nz ±_ 2nnl, i = O1 1, 2, в которых подынтегральная функция в равенстве (5) имеет полюсы. Для любого фиксированного s, не являющегося натуральным числом, равенство (5) определяет Ф как аналитическую функцию от г, регулярную в разрезанной плоскости, а для любого фиксированного z в разрезанной плоскости Ф является аналитической функцией от s, регулярной всюду, кроме, быть может, точек в = 1, 2, 3, ... (мы предполагаем, что Reo>0).
v-s г* Ф (2, s,©) = -?-+ \ 44 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
Как и в предыдущем пункте, наша функция может быть разложена в ряд. Чтобы пол)чить это разложение, рассмотрим интеграл
(— ty-^t (1 — ге"')-1 dt,
взятый по контуру С, составленному из окружности К радиуса (2/V-f- 1) я (N — натуральное число) и петли L, охватывающей начало координат. Центром кр>га в этом случае является точка f = lnz, г^Ы, причем все точки вида t = In z нн 2ml, n = 0, 1, 2, ..., должны лежать вне петли. Устремляя N к бесконечности, замечаем, что при Res<0n0<©^l интеграл по окружности К стремится к нулю. Следовательно,
Ф(2,8,®) = Г(1-8) fj Rn,
п = — OO
где Rn = ZT1 (—^y1IT является вычетом подынтегральной функции
в полюсе t = tn = In z -f- 2яя/. Таким образом,
OO
?(2,8,0) = 2-^(1-8) 2 ( — In 2 -{- 2mi)s~te2a'Riv, (6)
b=-oo
0<©<1, Re S <О, I arg (—lnz+ 2яя*) |я.
Но
со
2] (— In z + 2miy~lemKiv =
Я= —00
oo со
= 2] e~m*iv(— Inz- 2mi)*~l + 2] eM*iv (—In z + 2mi)s~t. я*=0 я=1
Сравнивая это равенство с равенством (1), получаем формулу преобразования JIepxa для функции Ф (z, s, v) Ф (z, s, v) = І2"в (2я)*-* г (1 — s) X
X
Hs . is . - \
Если в формуле (6) воспользоваться биномиальным разложением
fits СО ^ кг
(-In Z + 2mi)™=-(2my-4e 2 ^ <1^-1 ' •
/• =О
iit? OO ІЯГ
(- In 2 - 2ЯЯІГ1 = (2піс)*-Че~ Т2 ' 2 »
/•=О
то подучим
-»-КГ+
+,-«гсй'-.Ц+ь-)^'}. OS
1 )?] ФУНКЦИЯ Ф(2. S. о) - S <»+"Г 'Zn
я = О
Суммируя по я и используя формулу Гурвица 1.10.(6), получаем
• (^-ЇИ^ІПІ)-' + ^ I; С(.-г, ,)??, (8)
г—О
I InZI <2Л, 8^1,2,3,...,0^0, -1,-2,...
Если з — положительное число, s=m, то сначала положим S= /и + е и пол) чим из 1.17(11) и 1.10(9)
(in -і-)* = і + 8 m in -і+о
г (1 - s) = r (1 - т - *) = [«-'- + («)] + О («).
С(1 + ©) = е"'-ф(©) + О(«). Полагая «—»О, получаем из равенства (8)
OO
Ф (z, m,v) = I 2 с (f - Я' + (In-1I2)Itl1, (m) - ^ -1п 4)1 ¦ (9)
я=0
т=2, 3,4.....1 InzI <2я, о^О,— 1, — 2,...
Штрих означает, что члеи, для которого п=т — 1, должен быть опущен. В случае, когда S= I, получаем простое равенство
oo
ф(2,1,о)= 2 ;пг^==гг1 ї/?,(1' 1 + г)> |2|<Ь (10>
я —О
Из 1.8(6) следует, что
(?(©) = 2Ф (— I, 1, ©)„
Если s — отрицательное целое число, s = —m(m = l, 2, 3,...), то, исполь» зуя равенства 1.IO(LL) и (8), получаем выражение для Ф через многочлены Бернулли
со
Z г_0
Наконец, из (8) и (10) выводим
lim (1 — zy~s Ф (z, з, ©) = Г (1— s), • Re s < 1, (12)
Iim * («Л в)-,і
Jl?, In(I-Z)=1' <13>
Свойства функции
OO
/'(2, 8)= 2j 1) (14)
я=1
легко могут быть выведены из равенств (1) — (13). Если s =— т(т = 1,2,3,...), ГАММА-ФУНКЦИЯ
•л. t
то получаем из (U) и 1.13(7)
оо
F(Z'~m)=r^I~ ? (m+ Г +Ьп 1пГг- "ln2K^ <15> - г—О
где Вт+г+1 — числа Бернулли.
С помощью преобразования JIepxa 1.11(7) получаем соотношение }Конкье
Наконец, имеем
F(z,-«) = (- да = 1, 2, 3, ...; (17)
F(.,»> + (-1)^(1, = т = 2, 3, 4, ... (18)
Эти равенства задают аналитическое продолжение ряда (14) в область, лежащую вне круга сходимости | z |= 1.
Разрежем плоскость z вдоль вещественной оси От 1 до со и обозначим через F0 (г) главную ветвь F (г) в разрезанной г-плоскости [0 < arg (z — 1) < «С 2л]. Из формулы (16) следует, что разность между значениями Ft (z) в соответствующих точках верхнего и нижнего берегов разреза имеет вид
F0 (х, $) - F0(x^\ s) = ^ln*-'*. (19)
Следовательно, при переходе через разрез из верхней полуплоскости в Нижнюю получаем для продолжения Fi(Z) функции F0(Z) формулу
F1 (z) = F0 (f) +2«/ (20)
Аналогичная формула для обратного процесса продолжения имеет вид
M*)^ F0 (2)-2*/?^-. (21)
Относительно дальнейших свойств функции F(z, s) CM.fTrucsdell, 1945, стр. 144. 1.11.1. Дилогаряфм Эйлера. Дилогарифм Эйлера определяется формулой
