Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
В результате получился труд, соїержащий главы весьма различного характера. Различие в изложении зависит в некоторой степени от индивидуальных вкусов основных авторов, но в значительно большей степени от того, что каждый класс функций требовал особого подхода. В тех случаях, когда рассматриваемые функции часто всіречаются и имеют важные приложения, мы старались давать достаточно подробное дедуктивное изложение, сопровождаемое ссылками на литературу. Такие главы носят скорее характер учебника, за исключением того, что доказательства в них часто лишь намечаются, а не проводятся детально. С другой стороны, в случаях, когда изучаемые функции не играют большой рели в прикладной мэтемагике, мы ограничивались кратким изложением сведений об этих функциях, не выводя, как правило, их свойств. Наиболее характерным примером такого стиля изложения в этом томе является, вероятно, гл. 5. Встречаются и функции, общая теория которых может быть весьма кратко изложена, ио практическое применение их связано с громадным набором формул, которые трудно изложить в удобном виде. В этих случаях мы включали в главу списки соответствующих формул либо как часть текста, либо как дополнение к главе. В связи с этим надо отметить, что, насколько нам известно, воспроизведенная в гл. 2 таблица Гурса всех квадратичных преобразований гипергеометрического ряда была ранее весьма труднодоступной; это же справедливо и относительно полного анализа вырожденного случая гипергеометрического уравнения (см. 2.2.2). В случае функций Бесселя проблема состояла в том, что результаты, полученные до 1922 г., были полно и систематично изложены в известном трактате Ватсона, в то время как многочисленные результаты, полученные после 1922 г., были рассеяны по различным источникам. В этом случае мы приняли решение менее подробно излагать результаты, содержащиеся в книге Ватсона, сосредоточив усилия на результатах, которые не были столь легко доступны читателю. Коротко говоря, практически каждый класс функций требовал особого подхода, и мы без колебаний решали возникавшие проблемы индивидуально в каждом случае. Для каждого случая мы искали решение, казавшееся нам наилучшим, жертвуя во многих случаях единством изложения.
Каждая глава сопровождается списком литературы'), содержащим не только материалы, на которых было основано изложение в этой главе, но и те, которые необходимы читателю для поисков дальнейшей информации. Степень полноты этих списков зависела от индивидуальных вкусов авторов, <¦ также от степени важности и характера функций. Следует отметить, однако, что ни в одном случае список литерат\ры не исчерпывает всей библиографии, относящейся к данному классу функций. Задача составления систематической библиографии, относящейся к изучаемым ф)нкциям, неразрешима с помощью имевшихся в наличии сил; кроме того, такая библиография слишком увеличила бы объем книги.
Мы старались включать в эту книгу в основном функции, встречающиеся в прикладной математике. Выбор включаемых функций, равио как и выбор обозначений, целался исходя из принятого в математике. Например, для вы-
I) Весь список литературы вынесен в конец книги. Прим. ред. ВВЕДЕНИЕ
13
рожденной гипергеометрической функции есть много обозначений. Мы использовали лишь два из них, обычно применяемые в математических работах,-и кратко указали на др)гне обозначения; однако мы не касались обозначений, используемых в квантовой механике. Мы исключали малоизученные в математике специальные функции даже в тех случаях, когда для них существуют подробные таблицы, или они полезны в некоторых практических вопросах. С другой стороны, мы включили некоторые специальные функции, которых обычно не касаются в трудах подобного рода, например функции, встречающиеся в теории чисел, нли некоторые специальные виды автоморфных функций. Главы, посвященные этим функциям, следует рассматривать как пробные, и мы вполне отдаем себе отчет в том, насколько проблематичным является такое добавление к обычному семейству специальных функций.
По большей части мы не смогли широко использовать обширные заметки Бейтмена; нам оказалось легче составить разделы, касающиеся различных ф>нкцнй, используя свои знання об этих фхнкциях н дополняя их путем обыч-, ных поисков в доступной нам литературе. Однако в некоторых случаях заметки Бейтмена были широко использованы. Глава о производящих функциях возникла благодаря составленному Бейтменом каталогу производящих ф) нк-цнй, н прн ее составлении мы широко пользовались этим каталогом.
Обозначения и ссылки. При выборе обозначений возникли своеобразные затруднения. Существуют специальные функции, например функции Бесселя первого рода, для которых есть общепринятые стандартные обозначения. В то же время в некоторых случаях, например для вырожденных гипергеометрнческнх функций, имеется много существенно различных и независимых обозначений. Наиболее затруднительные проблемы возникали в связи с ф\нкцнями, для которых более нлн менее одинаковые символы применяются в нескольких различных смыслах. Многочлены Эрмита обычно обозначают через Нп(х) или Неп(х), но иногда этими символами обозначают многочлены, возникающие при повторном дифференцировании функции ехр (—
