Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 8

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 87 >> Следующая


- «іт1Ні+г)е~і1 ' -(1е': х '

('+T+-"*+ Г-юя)],

г I

хе 121 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 17

и окончательно

Я = 1

Если вещественная часть г отрицательна и п + 1 > Re (— г)>п, п — 2, .., то функция Г (г) может быть представлена интегралом Коши — Заальшютца (Уиттекер— Ватсон, 1962, п. 12.21):

OO я

г(2)=д[«г<- 2 4r\tz-ldt> -(«+')

О т =9

< Re z <— п. (9)

1.2. Функциональные уравнения, которым удовлетворяет Г (г)

Интегрируя 1.1 (1) по частям, получаем

00

Г(2)=Т j <я = 7гО+ *)>

т. е.

Г(1 +2) = гГ(г), (1)

Следовательно, если я—натуральное число, то

Г(2 + Й) = 2(2+1)(2 + 2)...(2 + Й-1)Г(2). (2)

Отсюда следует

Г (Z



(3,

lL^ = (-l)»2(2-l)...(2-«+l) = (-l)»Flll±Vr). (4)

Так как

00

Г(1)=Л е-1 dt = 1,

мы получаем

Г(Й+ 1) = 1.2.3...« = «! Из выражения 1.1 (3) следует, что

1(2)1(-2) = -2-.^(1-?"1

а= 1

н, так как

OO

Sill (tcZ) = TtZ JJ (l —

я = I

(см. Фихтеигольц, т. II, стр. 379), то 19 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I

Отсюда следует, что

или

г«Г"-г> = --ггЬг <6>

'(i+'HT-bsW

Из (5) и (2) следует

я -1

[(Л—1)1]2 sin (JCZ)



т = 1

Из (7), (2) и (3) вытекает

г(ч4 + ')г(»+Т-')_ 1 TTP1 42* 1 Jr + ^jJi cos^ -I-Il (2Я! — 1)SJ'

Полагая в равенствах (6) и (1) г — тц-, получаем

m= 1

/1=1,2,3,... (9)

03

ОЇ

гЩ = 2 Je-^dfc=Vic. (10)

Докажем теперь формулу умножения Гаусса — Лежандра т - I _ і) -L-b»2

ПГ(2 + -Й=(2я>2 " " Г(т2)' « = 2,3,4,... (И)

г =O

Из 1.1 (2) следует, что

т — 1 , 1

П, - \ тг + -s-(m -1)

Г (г +ij »te« («If ЛГ», (12)

г = 0 П-*

где

N = mz(тг + 1)...(я12+ тп) X (тг + ти +1)...

... (тг + mit -f- т — I) «-««я+

Так как

Г (тг) = Iim (тп)тг (тп)\ [тг (тг + 1) ...(mz -f мл)]-1,

п -+со

то мы получаем

^UTT= Iim йт Ш + " (тп— 1)! (в!)"« тг™. (ІЗ)

"Kz) «-» оо

Обозначим правую часть этого равенства через Очевидно, что К не за-

K

висит от г. Поэтому К можно вычислить, положив, например, в равенстве (13) 2 =—. Таким образом, 1Д] ВЫРАЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ

«ЛИ

Ь'Ю'Ю-'О-=?1)-

Перемножая последние два равенства и принимая во внимание (6), получаем

т — 1 г — 1

а потому

K2 = M (2ic)m_1. (14)

Из равенства (13), определяющего Af1 видно, что К > 0, а потому из (12), (13) и (14) следует равенство (II).

Случай т = 2 в равенстве (11) дает формулу Лежандра для удвоения аргумента Г (г):

Г (2г) = 22г-1 я 2r(2)r(z+yj. (I

1.3. Выражение некоторых бесконечны? произведений через гамма-функцию

Из 1.1 (2) следует, что

>П [ЫГЫП

__»= і_

— со 1 >

ПМт1'+?П'+?П1ч?тП

п — 1

и так как = то

2 /я

^(ІМП)

-«•—•ПК«+ ^)0-?-;,)]-«'—»C'+oo F)- <"

я = 1 20 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I

Из формулы 1.1 (3) находим

QO Tf

г (И)

і^ГЮ-ІК'+їтг)'"-

Л=1

—ПО+трг)*"1*7' »

Sc=O

и, следовательно,

• W-^+^ПгДг- <*>

Из (2) получаем

_Г(*1)Г(**) =TTZi+ Ui- г' ^ ш

л = 0

Формула Мелмша

—A-ni'+xf?)'"^ <6>

я =O

легко доказывается следующим образом. Из 1.7(3) следует, что

у OO JCJI

B=I

откуда, в силу равенства (2), вытекает искомая формула (5).

Положим теперь в формуле удвоения Лежандра 1.2(15) послецоватедьно 2 = 2~lv, 2~2v, ..., 2~nv и перемножим полученные п равенств. После сокращения мы придем к формуле

п

Г (w) = 2"» . 2s' Г (2"» V) JJI у= Г + 2"» ojj.

OT = 1

Это равенство, в силу 1.2(1), эквивалентно равенству

я

Г(1+®) = 2»' <»-г"я'Г(1+2-»гО JJ[y^=r(-J + 2~m»)|-

OT=I

Полагая п—*со, получаем формулу Кнара

+ + )]. (6) OT=I

Соотношение

ПІ'-ІїП-г'ЧІІ'«-'^- и 1.4] НЕКОТОРЫЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 21

является обобщением хорошо известной формулы 1.2(4). Его легко проверить, использовав выражение 1.1 (3) для каждой гамма-функции, входящей в правую часть, и заметив, что

т 1 „ . 171 1„.

? ^ =0 и IX е15" =(-1)'"-1. r = l "=I

Наконец, рассмотрим выражение

OO Л_М Л_?й\ (я — аі)(п — at)...(n — ak) __TT \ « /' \ я і



n(n — a1)(n — ai)...(n — ak) TT__

JUL

где ?,, bit bt, ..., Jft ие являются натуральными числами. Необходимое условие абсолютной сходимости этого бесконечного произве пения состоит в том, что ,

в»+ в« + — + ak — bt — bi —...—bk=*0.

Это условие также является достаточным, и если оно выполнено, то, воспользовавшись соотношениями 1.1 (3) и 1.2 (1), получим

^ П ^ "' "*" п] -ТГГ(?-Ц (8>

»-'(i-ii), » h.y-7 "=1

1.4. Некоторые бесконечные ряды, связанные с гамма-функцией

Формула Дуголла

<1>

V Г(а + я)Г(6 + я) I* Г<с+я)Г(</ + я)

я = — oo

____T(e + d~g~b — I)_

sin (яв)Sin (яй) Г(с — a)T(d — а)Т(с — b)T(d — b) '

Re(a + ft— с — </)< — 1, в, ft —ие целые

может быть доказана следующим образом.

Ясно, что ряд S является суммой вычетов функции

f (г)« Я Cto Uz) г(" + *)г(» + *)

/(Z) =S= я Ctg(KZ) r(c + 2)r(rf_j_2) .

соответствующих полюсам Z = 0, ±\, ±2, ... функции ctg (яг). Для больших значений |г| из 1.18(4) и 1.2(5) следует, что асимптотическое значение функции

Г(а + г)Г0 + г) Г(с + г)Г(</4-г) 22 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed