Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
1.7.4. Некоторые бесконечные ряды, связанные с функцией ф(г). Если положить
Д/(г)=/(г+1)-/(г), Д»/(г)= С«/(г + я-т)(-1Г,
т—0
то из равенства 1.7(8) следует, что
A(Ke + *)==_j_.
Таким образом, иы имеем 1.81
ФУНКЦИЯ Ф (г)
35
Д» ф (a + z) = А»"' (-U =_(-^-"(K-I)I
а l^a-f-z; V« + */ (а + *)(в+* + 1)...(я + *+я—1) '
Следовательно, если а не является целым отрицательным числом, то разложение функции <|/ (a -J- г) в ряд факториалов сходится прн Re (а + г) > 0 и имеет вид (Norlund, 1924, стр. 261)
./ і \ , , Л . г 1 «(г — 1) , 1 г(г—1)(г — 2)
^а + г) = ^а)+Т~ТмБТ1) + 3-а(а + 1)(а + 2)-- ^
Функциональное уравнение 1.7(10) полезно для суммирования некоторых рядов. Мы имеем, например,
2> + т*Г = |г* 2 (« + + ("VI, (31)
OT =О да=(Л ' L ' V /J
_l___1_ , 1 _ 1 Vi fa — Ъ , \-1 / а , \-1_
а+6 а + а+2/iA-4й Zi \ 26 +mJ + —
да = 1
и если It —> ОО, TO
ЇТЇ-ІТ»+їтії"-"В[*(1+І)-*(Т+І)]- (33)
• 1.8. Функция О (г)
Функция (7(г) определяется равенством
0(2) = ф(4- + |)-ф(|). (1) Из_1.7(13) и 1.7(14) следует, что і
0(2)=2^^(1+^? Re ^>05 (2)
со
б (г) = 2 J (1 + dt, Re 2 > 0. (3)
Рассмотрим интеграл | г-2* (1+r^Jr1 «ft, взятый вдоль контура, который
был использован при выводе 1.5(31). Мы получим с помощью этого интеграла более общее представление
OD ^?
G(z) = 2 j t~*(l + е-*)~1 dt, (4)
2* 37 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
ИЛИ
ooe'?
0(г) = 2Г»+^ th — е~г' dt, (5)
Разложив в равенстве (2) функцию (1 + f)-1 в ряд и проинтегрировав по частям, получи^*
OO
Q (г) = 2 2 (- 1)» (г + я)- = 2г» (1, г; 1+г;-1). (6)
п = О
Используя равенства (1) и 1.7(1), можно получить следующие функциональные уравнения:
0(1+2) = 22^-0(2), (7)
in-»
0(тг) = _А ^ (-1 Уф т — четное, (9)
/¦ = O 01 — 1
0(m2) = -i- 2 + т- нечетное. (10)
г = О
1.9. Выражения для функции In Г (г)
Из 1.7(17) получаем формулу Мальмстена
со
Sz (»Г 1_»-<«-»>< І
ф (2) dZ = \ |(2 - 1)--x_e-t J er'r1 dt, Re 2 > 0, (1)
Я из 1.7(25)
1пГ(г)=Цг — у) ІП2—2+1 +
OO
+ j ^ — 1 )-1 — Г1 + -j] (е-** — е-*)Г1 Л, Re 2>0.
о
Уак как (см. Уиттекер—Ватсон, 1962, п. 12,31)
(2)
OO
д
_ г» + («' - 1Г11 ] r'e-' dt = 1 -1 In (2«), (3) ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ In Г(г)
37
1.91
то мы получаем первое выражение Бирр чля In Г (г) In Г(г) = {г — -J-) In г - г + i-ln (2я) +
OO
+ j I - 1)-» — Г» + Yjr*^ А Re 2 > О,
О
или более общее выражение (см. 1.5(1), а Также 1,7(23), 1.7(26)) In Г(2) = (г —у) In г — г + -і-1п(2я) +
+ J [V- t-^e-t'dt, (5)
Из 1.2(6) получаем
1пГ (г) = In я—In (sin яг)—1пГ(1 —г)
и, следовательно,
OO
ІП Г (2) = ІП Я — ІП ( Sin Я2) -J [(Є11 — 1) (1 — е-')"1 — 2] 1ГЧ~* dt, (6)
Складывая (1) и (6), получаем 1пГ(2) = у1пя — -g-In (sin яг) +
Rezcl.
+і
W 1
I — 2z
sh t 2 в*
Так как
I [у+ ^-D-] Г1
Г1 Л, 0<Re2<l. (7)
¦_К при <оо,
то из первого выражения Бине (4) легко следует, что
|іпГ(2) — {z—i-j In 2 + 2 — -I In 2s Наконец, выведем второе выражение Бине для In Г (г)
t
(8)
/ 1 \ I I arctgT
lnr(z) = (z-TJln2-z + Tln(2*) + 2j -ргтГГ^ КЄ2>0. ?)
о
Из 1.7(3) следует, что
^ (Z)
1
__<Р1пГ(г)_ Vi _
dz* ~ Zi (г + Tif
п=0
(10) 38 ГАММА-ФУНКЦИЯ fГл |
Применим теперь формулу суммирования Плана (Lindeidf, 1905, стр. 61)
2/о + J /мл+1 Ifw-Jlrt' *<¦ <»>
л = 0 0 0
Эта формула справедлива, если
1) Функция /(С) регулярна при ReC^O1 ? = т + й.
2) Равенство Iim е-2*"1 / (т +«) = 0 выполняется равномерно при
/-»00
О ^ X < оо.
OO
3) lim ^ ff-»««'I (/(X + «) I rf« = 0.
t-» OO-jOO
Полагая в райенстве (11)'/(0 = /- / g , Re г > O1 получаем
\ "Г ч
OO оо
2 (н^5=(г)=4++JUz {t*+га)_а (e3Kt ~1)_1 dt (12)
л —О О
Дважды интегрируя ot 1 до г, получаем
OO
1 \ I arc tg —
1пГ(г) = (г-т)іпг + г(А-1) + Д +2 J ^ttt dt, (13)
где А к В — постоянные интегрирования. Чтобы определить их, заметим, что О ^arctg X =? X при а потому при положительных г имеем
OO
1пГ(2)-(г—g-) In2-(A-I)Z-S C-J J (S^i-I)-Udt
о
Выражение в правой части стремится к нулю, если г—*оа по положительной полуоси, поэтому, в силу оценки (8), получаем A=O, [fi= -i- In (2%) .
Этим доказано равенство (9).
1.9.1. Ряды Куммера дли In Г (г). Функция In Г (г), 0<лг< 1 может быть разложена в ряд Фурье. Мы используем известные разложения Фурье (Bromwich)1 1947, стр. 356, 393 и 370 соответственно):
In (sin кх) = —In 2 — ^ cos (Innx), п = 1
*[(т~ *)']_,_ V п *ta(2*"*) 71 L Р + 4*?п* '
shy п =¦ і
OO
х(1—2л-) = 2 2 sin (2п пх).
П=1 19] ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ In Г(г) 39
Подставим эти разложения в равенство (7), положив в нем г = jr. Мы получим
С ( 2кп _ dt__I f /_1__гя„Л dt__
+ 2ш) t~ 2т J \1 +1* )t~
о о
со оо
-Uj id*- Hf+fi •
В силу равенств 1.7(21) и 1.7(18), этот интеграл равен (2яя)-1 fr + In (2itn)J, поскольку для третьего слагаемого имеем
OO
lim \ (cost — er1) t~l dt = Um [Ei (— Ї) — Ci (8)] = 0.
