Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 7

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 87 >> Следующая


а иногда — прн повторном дифференцировании ехр . Кроме того, одни

авторы включают множитель п\, а другие этого не делают. Мы старались придерживаться на протяжении всей книги одних и тех же обозначений. Наиболее существенное отклонение от этого принципа произошло для вырожденной гнпергеометрнческой функции: в большей части книги мы обозначаем ее ,/7,, но в гл. 6 (н некоторых-следующих главах) тот же ряд обозначается символом Ф (а второе решение вырожденного гнпергеомегрнческого уравнения— символом 1P).

Насколько это возможно, мы следовали обычным обозначениям. Для функций Бесселя были использованы обозначения, применявшиеся Ватсоном в его монументальном труде, для ортогональных многочленов мы нспользовалн обозначения Cere (за исключением обозначения Cn для ультрасфернческнх многочленов). Что касается функций Лежандра, го мы, следуя книгам Янке — Эмде н Магнуса — Оберхеттннгера, а также некоторым другим авторам, различали определение ф)нкцнй Лежандра, применимое для отрезка [—1, 1], и определение, применимое во всей комплексной плоскости, исключая этот отрезок. В сомнительных случаях мы нспользовалн обозначения, примененные в более удобных нлн более обширных таблицах. Мы придерживались обозначений, применяемых в таблицах, и в случаях, когда считали, что с математической точки зрения предпочтительнее были бы иные обозначения. Все обозначения истолковываются в том месте, где онн впервые встречаются. В конце тома приложены указатель обозначений, который должен помочь читателю выяснить смысл каждого обозначения, применяемого в этой книге, и предметный указатель, в котором приведены обозначения для любой функции, , встречающейся в тексте. 14

ВВЕДЕНИЕ

Многие главы книги можно читать независимо от остальных, но встречаются и многочисленные перекрестные ссылки. Внутри каждого пункта равенства обозначаются просто с помощью номеров. Если данное равенство используется в другом пункте, оно обозначается с помощью номера пункта, дополненного номером равенства. Таким образом (3) обозначает равенство (3) пункта, в котором делается ссылка, а 2.1(3) обозначает ссылку на равенство (3) из пункта 2.1. Ссылки на литературу даются путем указания фамилии автора и года п)бликации.

Сложность н объем выполненной работы делают тщетной надежду на то, что нам удалось полностью избежать ошибок в выводах и опечаток. Подписавшийся будет благодарен за все исправления, которые могут оказаться весьма полезными в случае, если понадобится второе издание книги.

В заключение я хочу выразить благодарность от имени всего штаба проекта Калифорнийскому технологическому институту и особенно декану Е. Ватсону за то, что онн начали эту работу и оказывали нам большую поддержку во всех проблемах, с которыми нам пришлось сталкиваться. Я выражаю также благодарность всем моим коллегам, без содействия которых этот труд не мої бы появиться в свег.

А. Эрдейи ГЛАВА : ГАММА-ФУНКЦИЯ

1.1. Определение гамма-функции

Функция Г (г) может быть определена одним из следующих выражений:

OO і

Г(г) = j е~* t*~x dt = j (in -I)*"' dt, Re 2 >0, (1)

т./ ч .. n\nz

Г (г)= Iim —

п -»00 2(2+1)...(г+ я)

= Iim -

я-»оо

-Г-тг-г-гг-^ЙК'+тП'+тЛ'»

<i+«)(i+f)-(i+-j) J-Vv /v 71

n-l

где

т

Y= Ііш (У -— Inm) = 0,57721 56649... (4)

ЯІ -. OO \ ЛЯІ п I

п = і

обозначает постоянную Эйлера — Маскерони. Определение (1) было использовано Эйлером, (2) (в несколько иных обозначениях) — Гауссом и (3) — Вей-ерштрассом.

Заменяя в формуле (1) t на st (s вещественно и положительно;, получаем

OO

Г (z) = s« j er** p~l dt, Re г > 0. (5)

Можно показать [см. 1.5 (34)], что эта формула остается справедливой и для комплексных значений s, если в качестве пути интегрирования взять луч, выходящий нз начала координат и наклоненный к оси абсцисс под углом 5. 16 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I

Таким образом, имеем

ссе'"

I(Z) = Se~st t2~l dt (6)

— —S, Re2>0.

Если 0<Rez<l, то это равенство остается справедливым при args+ S = я

= ±2-

Из равенств (2) и (3) вицно, что гамма-функцня является аналитической функцией от 2 всюцу, кроме точек Z = O, —1, —2, .. Из (1) следует, что

1 ео

Г (Z) =Д е~* t'-1 dt + J e-t t'-1 dt = P (г) + Q (г), (7)

о t

где Q (z)— целая функция. Разлагая е~1 в степенной ряд и почленно интегрируя, получаем

Р(*)= E (-1V [«'(* +«Г1- (8)

Я = 0

Следовательно, функция Г (2) имеет простые полюсы в точках 2 = — я (я = = 0, 1, 2, ...) с вычетами [см. 1 17 (11)].

Покажем теперь, что выражения (1), (2), (3) представляют одну и ту же функцию '

Если я — натуральное число и Rez>0, то, почленно интеїрируя по частям, получаем

"'i-IYW=- —•

JC

t \п

[~и) * - z(z+\) (z + 2)...(2 + я)'

а поэтому, по теореме Таниери,

Iim \(1——) іг~1 dt = \ t*~l dt = lim я*

И I _ ІУ1 tz-1 dt= [ —__

я/ ^ «Тю г(г+1). .(z + я) '

Таким образом, (1) эквивалентно (2). Равенство (3) может быть выведено из равенства (2) следующим образом Из (2) вытекает, что

и-A"+'>(' +4)-('

T (Z)

или

1

Г (Z)
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed