Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
5 (1 — ґ) '-'(« = (1 -е2*«*)(1 у), 10 ГАММА ФУНКЦИЯ [Гл. Г
Следовательно,
J t*-4l-t)^dt. (7)
Эта формула установлена нами при Reje>0, Rejj>0, где х и у не являются целыми числами. Но, в силу принципа аналитического продолжения, она верна прн всех х н у, за исключением целых значений. Доказанная формула была получена Похгаммером.
Проведя аналогичные рассуждения, можно представить функцию В (лг, у) в виде интеграла, взятого вдоль простой петли,
0+)
S (8)
о
Re*>0, |arg(*— l)|s?*, y^rO, + 1, ±2,...; (0+)
hжш )" о;
Rejf >0, I arg (— f)|s?it, х^О, ±1, ± 2,... 1.7. Функция
Через <|> (г) обозначают логарифмическую производную Г-функции
я
^)=^?^=?! и™ In Г (2)= J *(')*¦ (1)
Из равенств 1.1(2) и 1.1(3) получаем представления этой функции:
ф(2)= lira Г In и—Ї---1-=---I-J5-...--1—I,
YW л —¦ OoL 2 2+1 2+2 2 + TlJ
со со
+ W = -T-T+ 2 ^??=-7+^-° 2 (Я+!)(« + «)
(2) (3)
I п—0
Функция ф (2) мероморфна и имеет простые полюсы в точках 2 = 0, — 1, -2, ... Очевидно,
¦ (I) = -Y- (4)
Из равенства 1.3(2), в котором взято а = г, ®=1, получаем
'+2 Ы:»
я = 0
Из равенств (3) и (5) находим
OO
п = 0 17] ФУНКЦИЯ ¦(*) Зі
Из равенств (6) и 1.1(1) следует
оо оо
1 = -4-(1) =2 [я-* —1п(1+я"1)] = — JfT1IrKrf*. (7)
л = 1 О
1.7.1. Функциональные уравнения для 4)(2)- Иа равенств 1.2(1), 12(2), 1.2(6) и U(II) получаем
ф(х) = ф (1+ч-і, (8)
ф(1+я) = 1+1 + 1 + ... + 1-Т, (9)
¦ (« + ")—F+ІТТ + - + » + «-! + *^ я = 1>2»3..... (Ш)
f (2) — — г) = —«ctg (иг), (U)
Ф (г) — ф (— г) = — я ctg (та) — —,
і/ (1 + г) — ф (1 — г) = z-i — я Ctg (KZ)1
Нт+г)—Нт—г)="tg (пг)'
Bt-I
¦ («*) = -2 + + (12)
1.7.2. Интегральные представления для 4)(2)* Формула
і
+ W = -Tf + 5 ^zzrdt' Re2>0, (ІЗ)
легко проверяется путем разложения (1 —t)'1 в ряд, почленного интегрирования и применения равенства (3). Подстановка t = e~x дает
оо _<г
¦ (Z) — 7 + J ^yEfrRe«>0- (14)
'о
Следовательно,
Re(a + ?±?)>0.
Из (Il) получаем формулу для t|/(z), справедливую при Re 2 < 1,
)
* (с) =-I-XCtg(M)+ \ ^jZTT dt, Re г < 1, (15) 32 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
ИЛИ
оо
t(«)=—if — я ctg (яг) + ^ Кег<Ь (16)
Интегральная формула Гаусса
со
¦ (*)—j І*"1«-* —(1—r<)r*r*l<fc Rez>0, (17)
может быть доказана следующим образом. Проинтегрируем равенство
во
CTxtIlt
ПО X от 1 до я. Мы получим
OO
lnn=j(e-< — e~nt) Г1 dt. (18)
Подставляя это выражение в (2) и используя соотношение
со
¦ — f е-«»+*" dt,
М:
г + і находим
со
Ф(г) = IirnK [(е-*— в-»')Г» ———?-"'+"'1 dt} =
СО OO
= lim irle^—0—e-t)-1e-tl!]dt—j e-n4r1—(l—e~t)-1e~t":+t,]dt}.
Первый из интегралов в правой части равенства не зависит от л, а второй стремится к иулю, когда я -»со. Тем самым формула (17) доказана.
Полагая в (17) 2 = 1, получаем интегральную формулу для постоянной Эйлера
СО
1 = J 1(1 — е-4)'1 — Г1] e-t dt. (19)
Полагая f = ln(l+jr) и 8 = 1п(1 + Д), получаем из (17)
«о
d> (Z) = Иш \ [Г1е~* — (1 — er') -»e~zt\ dt =
«—о і
: ІІШ
г -
о \ Г1«"' dt + lim \ \е~* -(1 + r)-*l jr-< dx.
>0 і І-ОД
Так как первый из пределов в правой части равеи нулю, хо иоду чаем 5 7] ФУНКЦИЯ +(г) 33
формулу Дирихле
OO
<1Ф)= +1) ~z] Г1 dt, Re z > 0. (20)
Таким образом, мы доказали, что
OO OO
7 = -<|,(1) = — $1<г'-(1 -И)-1I Г'Л = - j [cos <-(1+ f8)"1]*"1 dt. (21)
Первый интеграл следует из равенства (20), а второй получается путем интегрирования выражения t~xe~* — <_1(1+<)_1 вдоль контура, охватывающего перв}ю четверть кр}га с центром в начале координат и имеющего вырез около начала координат. Из равенств (20) и (21) получаем
OO
t(*) = -Y+ j [О+О"1-О+O^lr1 dt, Rez>0. Выражения Бине
OO
<|/ (Z) = In Z+ ^r1-O-?-*)-1] e~t*dt, Re г>0; (22)
OO
ф (z) =In Z-Iar1- ^(l-e-'Г»-Г1-1] <r" dt, Rez>0; (23)
Ь
CQ
= Inz+ j [(1-г*)"1 +Г1— 1]<г<гdt, Re z>0; (24)
(25)
CQ
ф(г) = 1пг— if- J — I)-' —r' + ije-ferff, Re«>a
легко вытекают из (17) и (18). Более общее выражение
со е'Р
<|/(z) = Inz-I*-'- J + (26)
легко выводится из (25) путем интегрирования выражения
вдоль границы сектора, вырезанного в начале координат, как при выводе 1.5(31).
Из 1.9(9) получаем формулу
со
Иг)=^=!»«-^'-']!^ + ^-'^-!)-'««, (27)
о
Rez>a
2 Г. Бейтмен. А. Эрдейн 34 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
которая также была доказана Бине. Следовательно,
, оэ
. 7 = -,|,(1) = -*- + 2 С<*»+1)-'(«8*'-1)-ЧЛ. (28)
1.7.3. Теорема Гаусса. Положив в (13) г~д> r^e °<Р<?. P и Я — целые, и сделав подстановку t = vi, получаем
і
^iLj=-T+J R(v)dv, R(v) = q (vP-1 — о?"') (vi — 1) Так как ^
l)jj(e_exp^»)f
п = 1
то R(v) может быть разложена в сумму элементарных дробей:
П= 1
Подставляя это выражение в R(v) и интегрируя, получаем (Bohmer, 1939, Стр. 77)
t(|) = -7-ln?-fct?|+2'cos^ln(2-2coS^L). (29)
л=> t
Штрих указывает, что в случае, когда q — четное число, последнее слагаемое в сумме надо умножить на , Таким образом, если г является положительной правильной дробью, то значение ф (г) может быть выражено как конечная комбинация элементарных функций. С помощью равенства (10) этот результат может быть распространен на все рациональные значения г. Эта теорема доказана Гауссом.
