Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
P П Г(4,-«г) E<jr, ar:q; р,:х)** ?-Г («,)*«'х
II Г(Р<-в,)
/=і
V P Гв" Р» + 1» "¦» аг — 1
Х<+'ґР->[*,-*„ «,-«,+1; (—I)*4**J' (2)
где IXI «Cl, если /> = 0-)-1. Штрих у произведения означает, что опускается множитель Г(аг— аг), звездочка в F означает, что опускается параметр ar — Otr -f- 1; пустое произведение интерпретируется как единица; нулевые и целые отрицательные значения аг исключаются. Будем ,предполагать 5.? ОПРЕДЕЛЕНИЕ Е-ФУНКЦИИ МАК-РОБЕРТА 201
на протяжении всей главы, что STtr условия выполнены. Асимптотическое разложение для (2) при х—*со,
— — ? + l)*<arg*<I(p — ?+1)*,
дается правой частью равенства (1). Первоначально (MacRobert, 1937 — 1938) ^-функция была определена с иомощыо кратного интеграла
хПЇС*"'""+V-f^v'U }<-'<"
X [• + J"'"-»' <3>
где I arg х\<.к, p^.q+\ и аг и р^ таковы, что интеграл сходится. Можно доказать эквивалентность определений (2) и (3) (MacRobert, 1937 —1938).
Родственными функциями являются Р-функция, которая получается, если записать (2) в виде
р
E{p\*,-<r,9s-x)=YjiP(*r\p— 1 ;*s:q;f{:x), (4)
г=1
а также две другие функции QhH, связанные соответственно с P и ? (MacRobert, 1937—1938). Функцию E(p;ar\q\ $s\x) обозначают также E (аі, . . , Op : P1, ... ,pq'.x).
Многие частные случаи ^-функции возникают из ряда (1) с помощью формул, изученных нли указанных в гл. 4. Из (2) и (3) также вытекают некоторые интересные частные случаи. Среди ннх наиболее важными являются выражение модифицированной функции Бесселя третьего рода
УЪм ATv (X) = е~* cos (w) Я (4" + \--v:: 2х) (5>
(MacRobert, 1937—1938, формула (12)) и W-функции Уиттекера
= --k -»,-2—ft +mi-.Xг) (в)
(MacRobert, 1941, формула (25)). Следует отметить, что функция W^m (Ix)X X Wklin (— ix) также может быть выражена через ^-функцию, равно как и другие комбинации (MacRobert, 1941, (15)). Сама ^-функция является частным случаем G-функцни Мейера (см. 5.6(2)).
5.2.1. Рекуррентные соотношения. Основная система рекуррентных формул была дана Мак-Робертом (MacRobert, 1941, равенства (20)-(24)). 202 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ФУНКЦИИ ГГл. S Тремя наиболее важными формулами являются
«1 •*?(«!.....VPi.....9q'X) = xE(al + I1H1.....ар:Єі.....fg : x) +
+ ?((1, + 1,0.,+ 1.....«p+I=P1-M.....R4+ 1:jc), (7)
E(ai.....ap • Pi> ••• tfg'x) —
= JTaEial+ 1.....«p + 1:P1 + 1,... fg+l:X), (8)
(Pl— 1 )xE(a1.....ap• Pi, ... ,Pg:x) = xE(au ... ,ap:p,— 1,Plf ... ,P5:JC) +
+ ?(0.,+ 1, ... ,o.p+ l:p,+ 1, ... ,Pe +-1:лгХ (9)
5.2.2. Интегралы. Многие интегралы, содержащие гипергеометрическис функции, могут быть выражены через ?-функцию. Типичным примером (MacRobertf 1937—1938, формула (21)) является
iFi (а> р. в. _x)rfX= Щщ Е(а, & 7
Re JC > 0, Rej>>0. (10) Эта формула может быть доказана путем подстановки
OO
о
в левую часть равенства и применения равенства (3). Интеграл
j еізА tFi (оц ft г,
может быть вычислен с помощью интегрирования в комплексной области. Интегрирование ведется вдоль контура, ограничивающею прямоугольник с вершинами 0, 1, 1 + Ik, ik (й>0). В этом контуре сделаны вырезы в точках 0 н 1, после чего радиусы вырезов устремляются к нулю, а ?—к бесконечности и применяется равенство (10) (MacRobert, 1937—1938, (23), тан же указаны многие другие интегралы).
Интегралы, содержащие ?-функцию, были изучены Мак-Робертом (Mac-Robert, 1941). Наиболее важными являются интегралы типа Эйлера и Лапласа, однако, кроме них, есть многие более общие интегралы. Типичными примерами являются (0+)
^ j е55"в?(о.„ ..., о.р;р„ ..., p^gx)dl = — 00
= ?(«„ ..., о.р:р,.....?д,а:х), — itssarge<n; (11)
OO
J Г* X»-1E (*„ Р„ ..., P4: dk= ?(«„ ..„ «р, ?: .......^^ (12)
(0+) _
Ie5Sp tE^al.....oip:р,.....P5: J у\=еЧ*Е(ч.....ар,?:Pl...^f:*«-'«)_
— с» »
' " - - * i^k Ь(а1,...,ар, §:р,.....fg-.xe*»). (13) 831 ОПРЕДЕЛЕНИЕ С-ФУНКЦИИ МЕИЕРА 203
Если p = q+ 1, то равенства верны прн условии, что точка Z=X лежит внутри петлн; если р < q нлн p=q н правая часть сводится к
2і sin (ря) E («л,.. ч ар, р: р„.. ч fq:— *);
СО
Cx-P-' (1 Б К.....«р: R1, .... ъ : (1 +X) х] =
oJ
= Г(о-р)Є(аі,„чяр,р:Рі.....f<p<i-.x), Re(?)>0, Re(o-?)>0. (14)
Доказательство этнх формул основано на определении Є-функцни; формулы (1), (2) нли (3) применяются в зависимости от значений р н q.
О-ФУНКЦИЯ МЕЙЕРА
5.3. Определение (/-функции
(/-функция Мейера, так же как н ^-функция Мак-Роберта, возникает прн интерпретации сичвота pFg, где p>q-\-1, и не противоречит интерпретации, даваемой ^-функцией. При этом все важные частные решения гипергеометрического дифференциального уравнения 5.1 (6) могут быть выражены с помощью (7-функции.
Первоначально (Meijer, 1936) G-функция была определена способом, напоминающим 5.2(2). Позже (Meijer, 1941b, 1946) это определение было заменено определением с помощью интеграла типа Меллина — Бернса (см. 1.19). Посчеднее определение предпочтительнее, поскольку оно оставіяет большую свободу выбора значений р и q. Здесь мы дополним определение Мейера, так чтобы оно охватывало все значения р н q без каких-либо (нетривиальных) ограничений на т и я.
