Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 53

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 87 >> Следующая


Г. Бейтмен (Н. Bateman, 1933, 1934) и Пастернак (Pasternack, 1939) исследовали многочлены от г вида

Fn (*)=л(-я, я + 1, у + уї l)> n==0' ^3'

Бейтмен (Bateman, 1936) изучил многочлены Zn(z) и J*'v(г), определяемые равенствами

Zn(z) = tFt(— п> я+1; 1. 1; *)» 1=0, 1, 2, ...; г(* + я+1 + |)

z-uju., (г) --\--?/^ л _ к а + Ji с +! + « .

п1Г(и+1)г(о+1+|) Х '

Результаты Бейтмена были обобщены Пастернаком (Pasternack, 1937) и Райсом (S. О. Rice, 1939). Последний ввел функцию

^n (6. Pt ?)=.^.(-л, я + 1, 6; 1, F, ®),

где ItsOl 1, 2, ... и Е, р, V — комплексные переменные, причем рф — H — J^ — л—2, ... Райе установил, что

і

//„(?, р» ®)= r(g)r^LS) J (1 -Op-^1Pn (1-М)dt, о

Reр>Re?i>0, Pn(Z)=Jl (-л, «+1; 1;

В

Р, а)Г(р-д)Г(9)Г(Е)Г(р-Є)=

0+І00

-?1 1 Г(8)Г(д-«)Г(6-в)Г(р-д-€ + в)//я(в, Ї, o)ds,

a—too

0<Ree<Re«, 0 < Re («—«)< Re(? —ру

7 Г, Бейтмен, А. Эрдейв 195 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4

Производящая функция для Hn имеет вид

I OO

Y^rt A [е. J-Г' = 2 tnfi^ р'

л=0

Цели Qn (г) определено равенством 3.6(24), то

OO

2(2п + 1)(?„(*)/U«.А®)=J1Itt л(*1;Я 1?).

/IsaO

Если я оо, то асимптотическое выражение для Hn (?, р, 1) имеет вид Т<р)п~* ь( lyi Т(р)п*~>Р

Г(р —Є)Г(1 —© Г(?-р+1)Г(5) •

Рейнвилл (Rainville, 1945) дал рекуррентные соотношения для функций Jn'' и показал, что функции //„(?, р, v) удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое содержит четыре члена

я (2п— 3) (р + я — 1) Hn =

F= (2я — 1) [(я — 2) (р — я + 1) + 2 (я — 1) (2п—3)—2 (2п—3) (5 + я—1 )»]//„_,— — (2п — 3) [2 (я — І)» — я (р — п +1) + 2 (2п - 1) (5 — я + ОД //„_, —

—(я — 2)(2я— 1)(р— я+ l)ffn-r

Фазенмайер (М. С. Fasenmyer, 1947) доказала, что

о ^ \Нп (S, р, V) + //„_, (S, р, о)] = я [Hn (S, р, V) - Я„_, (5, р, V)], ft изучила многочлены

[—я, я + 1, о„ Op; г!

1Ifi ь ' ~2 > '» "и ••• > "д I

f= 1, ...,р, У = 1.......

Производящая функция для этих многочленов имеет вид

OO

о - о-'° [(^J=2/» <*><».

л=0

где

О рекуррентных соотношениях, рядах и интегралах, содержащих /я, см. Fasenmyer, 1947, а также Chaundy, 1943. Простым частным результатом рвляется интегральное представление для функции Бейтыена Zn (г):

.a \ 00 - —

Zn (Za) = -L Г * 4 Ln 0Iz) Ln (- tz) dt, «8] БАЗИСНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 195

где Lu(z) означает я-й мноючлен Лагерра (см. гл. 10), и

Ift+-) _!

/я (Є P-, V)=^ J (- і) 2 е-'нп (і, р,- J) dt,

СП OO _

нп(і,р, V) J t 2 e-tfn (S; р; vt)dL о

Эрдейи (Erdelyi, 1938) доказав разложение

Z

-^- = 2'4"^ f1 + "' + 2(* + 2я; z),

я=Ю

где

А* (К Ш О-=S /-^1

г=0

И

«х, Г= ^f- Л [-Г, 1 - X; 2(1 - н); 2].

Это разложение справедливо при |<!>1> I«I < 1, Р^О, ±1, ±2, ...

Кралл и Фринк (Krall, Frmk, 1949) изучили класс многочленов уп(а, г}, Согласно Рейнвиллу, они могут быть записаны в виде

Уп(а>г) = *Р»( — п, а + п— 1; — г),

- - .. • ч

где п = 0, 1, 2, ... и а— 1 9&0, — 1, —2, ... Функции уп (а, z) являются ортогональными многочленами на единичной окружности, соответствующими весовой функции

(C-I)1FAU 0-1; -Z-1).

Они могут быть выражены через функции Уиттекера VTfilll(Z) (см. 6. 9(5)) в виде

J-

yu(a,z) = e*z 2W ,а і a (z~*)'

t-j, »-2 + 2 _

О рекуррентных соотношениях, дифференциальном уравнении и других ре-< зультатах для у„(а, z) см. Krall, Frink, 1949.

4.8. Базисные гипергеометрическиё ряды

Приведенное ниже изложение теории базисных обобщенных"гйпергм-метрических рядов следует гл. в книги Бейли (Bailey,. ШЗ)1Г|ТуСть а — параметр, принадлежащий области \q\ < 1. Введем для всех a и q обоадії чсння j

^aK ЧГ(! - а) (1 - ^X1 -Д! i^» 1. (1)

(a)Tio-T. — - ' (2)

7* 197 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4

(В литературе более принято обозначение LeJn для (в)? л где явно ие участвует q.) Тогда

[Ч, ..., «г; г! у (O1)9, п (<*,h. » - Ыо, « ,„ r3v

'ф4 P1..... P. J JL (?),, „ (Pi),, я ... (рs)g, п W

Пят)

является функцией от г и г + s + 1 параметров alt ...,ar; р„ ..., ps; q, которая сводится к

р Га1> аІІ • • • і ar> zI

r sI Р......Ь J'

если г *= s + 1 и q—> 1. Функция а®! была впервые изучена Гейне (Е. Heine, 1878, стр. 97— 125); ГФ5 называют базисным гипергеометрическим рядом. По-видимому, представляет интерес лишь случай r = s + l. О базисных ги-пергеометрическнх рядах двух переменных см. п. 5.14.

Простейшим случаем явтяется ряд tOofe; г), обобщающий биномиальный ряд. Можно показать, что

л* "-2 Й5-'-O1-Sfr <4>

/I = U п— о

И поэтому

,Ф, (в; z) ,O0 (6; аг) = ,Ф, (ab; г) (5)

(см. Bailey, 1935, стр. 66). Другими элементарными случаями являются

со «= і

со

.ф,(9,-1:-^/) = 1 + 22^^ (7) я=1 OO ^n

—Tr= .Фі (я, Vq ; я Vr, *)= У-г- W

1-У? At, п-з-

я—Il—q 1

Если разделить равенство (8) на Vz и заменить q, г иа q*, q exp (2ix), где X вещественно, то мнимая часть ряда дает

» і

2q"T 8 sln(2a + t)* _Kk gn(2Кх\_

-і-,«»+»—2Гшітг

,,„.„ ,-4 її О ~ 2g»» cos 2* + g") (1 + ««-')> (1 -q^f ¦ (siax)q 2 JJ^ i-^icoe2л:+94""4
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed