Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Г. Бейтмен (Н. Bateman, 1933, 1934) и Пастернак (Pasternack, 1939) исследовали многочлены от г вида
Fn (*)=л(-я, я + 1, у + уї l)> n==0' ^3'
Бейтмен (Bateman, 1936) изучил многочлены Zn(z) и J*'v(г), определяемые равенствами
Zn(z) = tFt(— п> я+1; 1. 1; *)» 1=0, 1, 2, ...; г(* + я+1 + |)
z-uju., (г) --\--?/^ л _ к а + Ji с +! + « .
п1Г(и+1)г(о+1+|) Х '
Результаты Бейтмена были обобщены Пастернаком (Pasternack, 1937) и Райсом (S. О. Rice, 1939). Последний ввел функцию
^n (6. Pt ?)=.^.(-л, я + 1, 6; 1, F, ®),
где ItsOl 1, 2, ... и Е, р, V — комплексные переменные, причем рф — H — J^ — л—2, ... Райе установил, что
і
//„(?, р» ®)= r(g)r^LS) J (1 -Op-^1Pn (1-М)dt, о
Reр>Re?i>0, Pn(Z)=Jl (-л, «+1; 1;
В
Р, а)Г(р-д)Г(9)Г(Е)Г(р-Є)=
0+І00
-?1 1 Г(8)Г(д-«)Г(6-в)Г(р-д-€ + в)//я(в, Ї, o)ds,
a—too
0<Ree<Re«, 0 < Re («—«)< Re(? —ру
7 Г, Бейтмен, А. Эрдейв 195 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4
Производящая функция для Hn имеет вид
I OO
Y^rt A [е. J-Г' = 2 tnfi^ р'
л=0
Цели Qn (г) определено равенством 3.6(24), то
OO
2(2п + 1)(?„(*)/U«.А®)=J1Itt л(*1;Я 1?).
/IsaO
Если я оо, то асимптотическое выражение для Hn (?, р, 1) имеет вид Т<р)п~* ь( lyi Т(р)п*~>Р
Г(р —Є)Г(1 —© Г(?-р+1)Г(5) •
Рейнвилл (Rainville, 1945) дал рекуррентные соотношения для функций Jn'' и показал, что функции //„(?, р, v) удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое содержит четыре члена
я (2п— 3) (р + я — 1) Hn =
F= (2я — 1) [(я — 2) (р — я + 1) + 2 (я — 1) (2п—3)—2 (2п—3) (5 + я—1 )»]//„_,— — (2п — 3) [2 (я — І)» — я (р — п +1) + 2 (2п - 1) (5 — я + ОД //„_, —
—(я — 2)(2я— 1)(р— я+ l)ffn-r
Фазенмайер (М. С. Fasenmyer, 1947) доказала, что
о ^ \Нп (S, р, V) + //„_, (S, р, о)] = я [Hn (S, р, V) - Я„_, (5, р, V)], ft изучила многочлены
[—я, я + 1, о„ Op; г!
1Ifi ь ' ~2 > '» "и ••• > "д I
f= 1, ...,р, У = 1.......
Производящая функция для этих многочленов имеет вид
OO
о - о-'° [(^J=2/» <*><».
л=0
где
О рекуррентных соотношениях, рядах и интегралах, содержащих /я, см. Fasenmyer, 1947, а также Chaundy, 1943. Простым частным результатом рвляется интегральное представление для функции Бейтыена Zn (г):
.a \ 00 - —
Zn (Za) = -L Г * 4 Ln 0Iz) Ln (- tz) dt, «8] БАЗИСНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 195
где Lu(z) означает я-й мноючлен Лагерра (см. гл. 10), и
Ift+-) _!
/я (Є P-, V)=^ J (- і) 2 е-'нп (і, р,- J) dt,
СП OO _
нп(і,р, V) J t 2 e-tfn (S; р; vt)dL о
Эрдейи (Erdelyi, 1938) доказав разложение
Z
-^- = 2'4"^ f1 + "' + 2(* + 2я; z),
я=Ю
где
А* (К Ш О-=S /-^1
г=0
И
«х, Г= ^f- Л [-Г, 1 - X; 2(1 - н); 2].
Это разложение справедливо при |<!>1> I«I < 1, Р^О, ±1, ±2, ...
Кралл и Фринк (Krall, Frmk, 1949) изучили класс многочленов уп(а, г}, Согласно Рейнвиллу, они могут быть записаны в виде
Уп(а>г) = *Р»( — п, а + п— 1; — г),
- - .. • ч
где п = 0, 1, 2, ... и а— 1 9&0, — 1, —2, ... Функции уп (а, z) являются ортогональными многочленами на единичной окружности, соответствующими весовой функции
(C-I)1FAU 0-1; -Z-1).
Они могут быть выражены через функции Уиттекера VTfilll(Z) (см. 6. 9(5)) в виде
J-
yu(a,z) = e*z 2W ,а і a (z~*)'
t-j, »-2 + 2 _
О рекуррентных соотношениях, дифференциальном уравнении и других ре-< зультатах для у„(а, z) см. Krall, Frink, 1949.
4.8. Базисные гипергеометрическиё ряды
Приведенное ниже изложение теории базисных обобщенных"гйпергм-метрических рядов следует гл. в книги Бейли (Bailey,. ШЗ)1Г|ТуСть а — параметр, принадлежащий области \q\ < 1. Введем для всех a и q обоадії чсння j
^aK ЧГ(! - а) (1 - ^X1 -Д! i^» 1. (1)
(a)Tio-T. — - ' (2)
7* 197 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4
(В литературе более принято обозначение LeJn для (в)? л где явно ие участвует q.) Тогда
[Ч, ..., «г; г! у (O1)9, п (<*,h. » - Ыо, « ,„ r3v
'ф4 P1..... P. J JL (?),, „ (Pi),, я ... (рs)g, п W
Пят)
является функцией от г и г + s + 1 параметров alt ...,ar; р„ ..., ps; q, которая сводится к
р Га1> аІІ • • • і ar> zI
r sI Р......Ь J'
если г *= s + 1 и q—> 1. Функция а®! была впервые изучена Гейне (Е. Heine, 1878, стр. 97— 125); ГФ5 называют базисным гипергеометрическим рядом. По-видимому, представляет интерес лишь случай r = s + l. О базисных ги-пергеометрическнх рядах двух переменных см. п. 5.14.
Простейшим случаем явтяется ряд tOofe; г), обобщающий биномиальный ряд. Можно показать, что
л* "-2 Й5-'-O1-Sfr <4>
/I = U п— о
И поэтому
,Ф, (в; z) ,O0 (6; аг) = ,Ф, (ab; г) (5)
(см. Bailey, 1935, стр. 66). Другими элементарными случаями являются
со «= і
со
.ф,(9,-1:-^/) = 1 + 22^^ (7) я=1 OO ^n
—Tr= .Фі (я, Vq ; я Vr, *)= У-г- W
1-У? At, п-з-
я—Il—q 1
Если разделить равенство (8) на Vz и заменить q, г иа q*, q exp (2ix), где X вещественно, то мнимая часть ряда дает
» і
2q"T 8 sln(2a + t)* _Kk gn(2Кх\_
-і-,«»+»—2Гшітг
,,„.„ ,-4 її О ~ 2g»» cos 2* + g") (1 + ««-')> (1 -q^f ¦ (siax)q 2 JJ^ i-^icoe2л:+94""4
