Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 54

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 87 >> Следующая


я—1 «Л

БАЗИСНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ

197

где sn а означает эллиптическую функцию Якобн модуля к, л k, Kuq связаны соотношениями

щ = ар (9)

tf=!/^,};!; *8), К'=yf ("J• T'1 "¦**)• ' 0°)

Этот результат есть часть теории эллиптических тета-функций, см. гл. 11.

Многие из результатов теории обобщенных гипергеометрических рядов имеют аналоги в теории базисных гипергеометрических рядов. Это справедливо, в частности, для теорем о вполне уравновешенных рядах. Аналогом теоремы Дуголла является теорема Джексона

[a, q У а, —q У a, Ь, с, d, е, q~N; q 1

лГп лГ7 aq aq aq aq aaW =

У а,-у a, —. т J

f aQ \ І Щ \ ( Щ \ I ад \

\ b lq,N \ C )g,N\d )q,N\bcd jq.N

(U)

где 6cde = a'qlf^ и N= 1, 2,Ji1 ... Из-за присутствия в стоящей слева функции четырех элементов q У a, —qya, У а, —У а общий член ряда со-1_ааш

держит множитель —^ . Другой важный результат (аналогичный теореме Уиппла) был доказан Ватсоиом (Watson, 1929)

,Ф,

,- аV

a, q У а, —q У а, с, d, е, /, g; ^fg

У а,— Vat-,-J-(I — aqn) ^l —

ад ад е * f

Jq-

g

=п

flbfu-^)

1Л (-^)(-^)(-^)('-?

]

X Л.

' aq

Ы' е' А « q

efg а

aq_ с

aq_ d

(12)

где ряд справа конечен, а слева сходится. Более общие результаты есть у Бейли (Bailey, 1933, (936, 1947а, b, 1948а, Ь). Анализ состояния теории так» же дан Бейли (1947а, 1948b). 198 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4

Среди следствий равенства (11) отиетии базисные аналоги теорем Зааль-шютца 4.4 (3), Гаусса 2.1(14) и 2.9 (2). Именно *

f-ї І-) _ \Ь /д. M \С Ig, N

b,c,q N;q л bcql~N

d'—d—J

^¦»Шд,*

r dl со и AsL

L a J H (i-rf9»)(i_-

Большое число тождеств может быть выведено из (12). Среди них укажем тождество Эйлера

OO Г — і + 2<-1ф2 л=1 L

.¦V <*•-!) ¦ .4(3"+!)

+ Я

1= П(1-9»), J п=1

тождество Роджерса—Рамануждана

А"2

_ (1-0)(1-я=1

'+2 (,-„(і-'Й-а-о

п=1

и результат Гаусса

п=0 оо

(1-9)0

-g») ... (1-у») =11(1" (1 - 93+6">"'

я=0

W OO

л=1

п= 1

Доказательства и другие результаты см. у Бейли (Bailey, 1935). Базисный аналог формулы Куммера 2.8(47) был доказан Даумом (Daum, 1942). Результат имеет вид

,O1

¦ aq_ Ь

»№)'»("r^2 (-"riW)

где

• » (-Hf2-) «С- Hfs-)



ГЛАВА 5

ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИИ

5.1. Различные обобщения

Изучение классического гипергеометрического ряда

Р(г1 р. _ і. afJ г і "("-И)?«* + 1) г, , /п

стимулировало изучение многих функций и рядов. Эта глава посвящена тем обобщениям, которые обычно рассматривают как гипергеометрические функции Другие обобщения, например функции Матье и Ламе, будут изучены в дальнейших главах.

Обобщенный гипергеометрический РЯД

OO

„ , . . V (fli)n •••(ар)п хп

ptq{ai,...,ap, Ьи..п Ьф = (Ь,)п...(Ьч)п "Я"' <2)

я=0

где

(а)' = Г(га(^)> (0)» = M«V = «(«+ 1) •••(«+" - 1), (3)

a параметры таковы, что по крайней мере одно из определений (3) имеет смысл, был изучен в гл. 4. Здесь будем рассматривать (2) как формальный степенной ряд, не обращая внимания на то, сходится он или нет.

Обычно опреде іяют наиболее общий (формальный) гипергеометрический ряд как формальный степенной ряд, такой, что отношение двух последовательных коэффициентов является (фиксированной) рациональной функцией индекса. Более точно

Я--0

где P и Q — MHOi очлены; мы предполагаем что

0(я+ !) = ("+ OCi (" + 1)>

где O1 — такой мноючлен, что Р(п) и Q1 (n + 1) не имеют общих множителей. Степени многочленов P и O1 "равны соответственно р и q. Разложение P-и Q1 на линейные множители позволяет выразить (4) с помощью символа 200 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-

pFg, так что, по сути дела, (2) является наиболее общим (формальным) гипергеометрическим рядом.

Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ряд (4), может быть записано с помощью дифференциального оператора

Мы имеем Ьхп = Tixn, и поэтому для любого полиномиального оператора с постоянными коэффициентами /(Ь) хп = /(л) хп. Таким образом, ряд (4) удовлетворяет дифференциальному уравнению

{ хР(Ъ)-Q(I) J-^ = O или {Р(Ь)—Q1 (S) = 0, (6)

порядок которого равен max (р, а-j- 1) и особыми точками при 1

являются 0 и со, а при р = q 1 — точки 0, оо и некоторая третья конечная точка.

Для обобщенной гипергеометрической функции возникают две задачи: 1) интерпретировать (2), если p~>q |- 1 и ряд расходится для любого х ф О, и 2) найти фундаментальную систему решений уравнения (6) в окрестности каждой особой точки.

Другие обобщения связаны с базисными гнпергеометрическими функциями, о которых см. гл. 4.

Гипергеометрнческие функции двух или большего числа переменных определяются точно так же (см. п. 5.7).

^-ФУНКЦИЯ МАК-РОБЕРТА 5.2. Определение f-функцин

^-функция Мак-Роберта возникла в связи с попыткой придать смысл символу рР9 при p~>q-f-1. Когда 1» полагаем

EiPi «/•:« РД:*)=» г(р,) II! У) Л ("»' ••¦> V' Р» •••> 9«> ~ 4")'

где хфО, если pcq, н |*|>1, еслиp = q*\*\.

При р ^ q -f-1 полагаем р ,
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed