Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
G"" (г)= О,0) (г) =O(г), /1=1,2,3,... (2>
Следующие функциональные уравнения являются следствиями результатов 1.7.1 и 1.8:
(_г\я+і „і
4р(п>(г) —4< <я>(1 + г) = (—рг+г-^-, (3>
іP1
(г) - (-1)" «Г' О - г) = - * c1S (™)> <*>
M-I
t<»>(mz) = W-"-1 2 +'"'(2 + m = lr2, 3, ..., (5>
/• = 0
2» О'»» (ж)=ф«« (у+ у)- Ф'я> (у), (6>
(?»(1 + ж) + Guu (z) = , (7>
ип 1
О1»1 (2) + (- If Clsl(I-Z) = ^f5 -^-г. (8>
w ^v ' 4 ' dzn srn (uz) y '
Имеют место также следующие выражения:
oo
ф »> (Z)=(— If+1 и! 2 (2 + г)-»"1 = (— 1)»+» п\ С (В + 1, 2), (9)
г = 0
OO
О"»(2) = 2(-IfBl 2(-^^ + ^=2(-^^^(-1. » + J.4 (10)
г = 0
Если заменить здесь функции ф,я> (г) и Qlm (г) их интегральными представлениями, то получим выражения функций С и Ф в виде определенных интегралов. ГАММА-ФУНКЦИЯ (Гл. 1
1.17. Некоторые выражения для In Г(1 -f-г), г?(1 -J- Z), G(1+г) и Г(г)
Разложение In Г (1-f-г) по формуле Тейлора имеет вид
"OM-SpssisJ S=
jb=o * = °
-' \ »
OO
21 ^^'"'"С+^-о. 0)
(Я = 2
«ли
OO
ІоГО+г)=-^+ 2 (-DmCW^, t*l< І (2)
да=2
<CM. 1.16(9) И 1.12(1)).
Полагая 2=:1, получаем выражение
OO
т= 2 Ціг'« <з>
tu4= 2
для постоянной Эйлера. Если в равенстве
OO
¦о+«)—Т+2(!-ГЬ) w
я = I
<{см. 1.7(3)) воспользоваться разложением
1__1__г _Za г* . ,
п г + я~~я» я» "hH4 I21^1'
1 і
то получим
ф(1+*) = -т+ 2 (-1)»С(я)г»Л |г|< 1. (5)
п=а
Аналогично из 1.8(6) получаем
<?(1 + z) = 2 2 (- І)»"1 о (л) г»"1 = я—1
= 2а (1) + 2 5 (- 1)»-' (1 - 2'-») С (л) г» (6)
я=2
OO
где |г|<1, в(1) = 1п2 и в(л)= 2 Ціг^ =(1-2'"») С (л) при л> 1.
г = 1
Составим суммы ф(1 +3) + ^(1 —г) и G(1 + z)-f-G(l — z) и запишем их с помощью (5) и (6), принимая во внимание 1.8(7), 1.8(8), 1.7(10) и 1.7(11). 1.18] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 61
Мы ПОЛ)ЧНМ
оо
¦ 0+«)=5-Т—J-Ctg(W)- 2 ?(2л+1)г» |z[<l; (7>
П = 1
OO
0(1+^)=1-5й^Г) + 2в(1) + 2 2 0 —2~2я)С(2л-f- 1)ггп, |г I < 1. (8)
я = 1
Используя 1.7(1), выводим из равенства (7)
¦то+*—»
я - 1
Разложив первое слагаемое в правой частв по формуле
Ii (l+z\— V гая+1 2 W\1 —г)~ Li 2я+1»
п = 0
шшчаем
-'!'+I-Tf-(SP5)--(Tir)I+
+ І '"h+i1" "-"+O-T)* СО)
п !
Формулы (9) и (10) справедливы, еслв 1 г | < 1.
Наконец, пол)чвм выражения для Г (г) н ф(г) в окрестностях точек Z = —т (го = 0, 1, 2, ...). Из 1.2(6) имеем
Т(:)= (-!У*
к ' Г(1— г)sin [я(2 +го)]-
Разлагая =^p—г в ряд Тейлора в окрестности точки г=—гон используя 1(1 г)
1.13(36), пол)чаем Г (г) =?" {(г + ИГ1 +(/В + 1}+
+ -І- (г + »)[? + Г («+1)-4'' (m +1)] + О [(г + m)»]}. (И) Аналогично нз 1.7(11), 1.13(31) н 1.16(9) находим
со m
^=-(2 + ,^+^+1) + ?((-1)Ч(й) + + (12)
Tl — 2 г=* 1
1.18. Асимптотические разложения
Заменим в формуле 1.9(5) часть подынтегральною выражения, стоящ\ю в квадратных скобках, правой частью равенства 1.15(1) Поскольку выполнены условия леммы Ватсона, порченное равенство можно почленно проил-теїрнровать. В результате пол)чается следующее асимлтошческое разложение 62 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
(ряд Стирлинга):
In Г (Z) = {г —J-) In Z — Z + -J- In (2я) +
т
+ lU^-V"-'-1-0^*""1*' IarS2Kjt-
п= 1
Это равенство эквивалентно
T(Z)=^ez I-4-K«. (2)
(Формула (2) может быть непосредственно получена из контурного интеграла 1.6(2) с помощью метода наискорейшего спуска. Этот вывод и оценку остаточного ч ієна в формулах (1) и (2) см. в статье Watson, 1920, стр. 1.)
Из равенств (1) и (2) вытекает ряд асимптотических формул, например,
In Г(г + <х) = (г + <х - -J-) In г — г + -J- In (2п) + О (гт1).
(3)
= z-P [і + -і. (а _ ?) (e + р _ і) + о (г-*)], (4)
В связи с формулой (3) см. также (12), а в связи с формулой (4) см. (13). В формулах (3), (4) и (5) а и ? являются произвольными фиксированными комплексными числами и —ті < arg г<я. Имеем также
« і . '
-т\У\. г —
lim \Т(х -\~iy)\ е J J^ I = У 2щ л:, .у — вещественные. (6)
|J>|-*00
Из формулы (1) вытекает асимптотическое разложение для ф(г)
m
ф(г) = Inz^ ^?+0 (7)
п = 1
Подынтегральная функция в 1.10(4) может быть представлена в виде (см. 1.15(1))
OO
т^-^Н^+т+ Z5-SrJ- (8>
п= 1
Следовательно, из 1.10(3) получаем асимптотическое разложение для функции С (s, v), справедливое для больших | v j и | arg о | < к
m
Us v)__1 /Г(s-1) r(s) у r(s + 2n-U ч
A=I
Ke s> 1. 1.19]
ИНТЕГРАЛЫ МЕЛЛИНА - БЕРНСА 63
Полагая S = л+1, получаем асимптотическое разложение для ф""(г) (см. форм) лу 1.16(9)).
Наконец, выведем асимптотическое разложение для In Г (г), пол)ченное Бнне Представим подынтегральную функцию в первом выражении Бине 1.9(4) в виде
е1 ((-2) + ( + 2 _ 1 -у л*"
2еиЄ (е1 — 1) ~ 2?z (е* — 1) Zi (л + 2)1
B = I
(мы заменили функцию е' в числителе левой части равенства ее разложением в степенной ряд). Так как, в силу 1.10(3),
OO
j tner*{e* — 1Г,Л = Г(я+1)С(я+1, z + 1),
то пол)чаем равенство
In Г (г) = [г — -Lj In г — z + у In (2%) +
