Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
И в этом случае
Ofcfi1=O, « = 0,1,2,... (43>
Полное изложение теории чисел и многочленов Бернулли высшего порядка имеется в книге Norlund, 1922 и 1924, гл. VI.
Случай ?1,1=? = ...=:?= 1 полностью изучен в книге Milne-Thomsonr 1933, гл. VI.
1.14. Числа и многочлены Эйлера
Числа Эйлера En и многочлены Еп(х) определяются равенствами
1 2e* V г? I I * /IV
я=О
OO
2ехг
- = ^En(X)Z, |г|<я. (2>
в2 +
It=O
Дифференцируя равенство (2) по л: и приравнивая коэффициенты при «*, получаем
Е'п(х) = пЕп^(х). (3>
Еслн записать левую часть равенства (2) в виде
„ 4 / I \ OO OO
«* + і" ~ ZibrTTW ZiV2} т\
m—O
и перемножить степенные ряды, то получим
п
Еп(*) = 2 TrcrMx• (4>
о
Если же ГОЛОЖИТЬ В ЭТОЙ формуле X = Y> то
?я=2»?я(±). (5)
Из (2) вытекает
OO OO
2 (* +1) +?я Ml^=2^ = 2^
It-o я—о56
ГАММА-ФУНКЦИЯ
[Гл. I
я, следовательно,
?»(*+!) + ?»(*> = 2*». {6)
Используя тождество
• 1, , 1. I
Zei _ __ggJ
L , , ег— 1 е*—\ » ,2 + 1
получаем из (2) и 1.13 (2)
M = тК^)-бя (?] = \\вп(Х)-2»вЩ. (7)
"Следовательно, из 1.13(11), 1.13(12) вытекают следующие соотношения: т—\ ,
Ea(тх)= тя 2 (-ІУЄ» (* + и -нечетное; (8)
г=О
от-1
En (тх) = - 2т» (п + 1)-' 2 (- irS»+i (* + ?), «і - четное; (9)
I-=O
?я(1-•*) = (- >)"?» (*)• (Ю)
Из
, , OO во OO
l^w Ti LHa = 1 E"lx+1) IS
г=А т=0 п—0
етол>чаем рекуррентную формулу
± Cra Er (X) =En (лг + 1), или 2 CrnEr (х) + En (х) = 2л:». (11)
г=0 г=О
Точно так же как в 1.13, можно получить разложение многочленов Эйлера в ряды Фурье. Для этого рассмотрим интеграл 2^ г-*-,е-*г(е*+1)-1 rfz,
взятый вдоль окружности с центром в начале координат и радиусом 2Nn (N— целое число). Из равенства (2) следует, что вычет подынтегральной
функции в точке Z = O равен —^p-. Отсюда следует, что
Etn(x) = (- 1)"4(2«)lj} |(2r+ Ditrrt-1Sin [(2г+ 1)**J, (12)
г=0
в= 1, 2, 3, ..., OsC^sC 1, Bta+t (X) =(- 1Г1 4(2n+1)1? [(2r + 1) я]-=»-' cos 1(2г + 1)wrj, (13)
г—О
/2 = 0, 1, 2..... О Sg* Sgl.
Из (5), (12) и (13) имеем
' от
?,„ = (-1)»2(22 (2г + ' П==0' 1' 2' ,14)
Emh=O. 05)I 14] ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ ЭЙЛЕРА 57"
или, используя обозначения 1.12(27),
/ 2 \ ая+1
Ein = (-1)"2 (2п)! ^iJ L(2л + 1), 1, 2, ... (16>
Равенство
OO OO
1 и _ 1 _ V P 2s" Y г3"1
~шсаг-1-LtimM ZiiЩі
O=O т=0
после перемножения степенных рядов в правой части равенства позволяет-подучить рекуррентную формулу для чисел Эйлера
Ec2ZnB2r=O. (17>
г—о
Применяя (14), находим
E0 = 1, E1 = - 1, Ei= 5, Et=-61, E8= 1385, ...
Интегральное представление для Ein получается путем замены L(ln-\-\y в равенстве (16) выражеинем 1.12(28)
OO со
(2 \ «и-1 (» мп р ліп
«) jh^-r*™}?(18)"
n = 0, 1, 2, ...
Разложения Фурье (12) и (13) могут быть заменены интегральными выражениями. В результате получаются равенства
я = 0,1,2,..., 0<с Re Jf < 1;
E (X) = (- IVй"14 F '""'«»(ил:) shfo)
?sn+I W ( ff ch (2irf) — cos (27Wf)at> W*
n = 0,1,2,..., 0<ReJC<l.
(Относительно дальнейших результатов см. Nielsen, 1923.)
1.14.1. Многочлены Эйлера высшего поридка. Числа и многочлены* Эйлера определяют при помощи равенств
2тег <«»+ •••+««> [(в2"»2 + 1)- (e2"*' + l)]-i =
OO
= Ich(ajZ)...ch (amz)]^= 2 С К - %,) J. (21>
я=О
со
1(1!"»' + 1)... (.*"•' +1)]"1 = 24"VІ «І — (22>
я=0
Ряд в формуле (21) сходится при | z \ < — | 0? Г1, а ряд в (22) — при |2|<я|<хг|-1, где величина определена формулой 1.13(31). В формулах (21),58 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
и (22) т — натуральное число, а O1, ..., ат — любые параметры. Частный случай m = 1, O1 = I был рассмотрен в 1.14. Ясно, что из (21), (22) и 1.13(35) следует
4^...^) = 2"?"^!*! - ап)- (23)
Числа и многочлены Эйлера порядка —т (т = 1, 2, 3, ...) определяют при помощи равенств
2-те- ^ + ...+V ((e2V + 1)... (е2*тг + 1)] =
OO
= Chfr1Z) ...Ch(«mZ)= (24>
л=0
оо
2—t»fr"'* +1)... (<>* + 1) = 2 4~ОТ) (* IV" ««)~г (25)
я=0
причем оба разложения сходятся во всей плоскости г. Относительно дальнейших деталей см. Norlund, 1922 и 1924, гл. VI. Случай (*.=?= ... .,. = Ont==I полностью изучен в книге Milne-Thomson, 1933, гл. VI.
1.15. Некоторые интегральные формулы, связанные с многочленами Эйлера и Бернулли
Из результатов предыдущих двух пунктов могут быть выведены некоторые интегральные соотношения. Во-первых, равенство 1.13(1) может быть записано в виде
со
Если заменить здесь Bin по формулам 1.13(24) и 1.13(27), то получим
OO
1 =1-1+2 JJH=Trf'' и®*1<2*; (2)
е*— 1 г
1 1 1 ¦ it f Sins (tz) ,,
лггт=5-т+т}-а?ил' |1гаг1<л- <3>
Если в 1.13(2) заменить Br (х) выражениями 1.13(20) и 1.13(21), а в 1.14(2) 'заменить Er(X) выражениями 1.14(19) и 1.14(20), то получим
ех- 1 . (* сое (2iwr) — e~Snt . .,4J, ^T = T+ J ch (2к() — cos(2шг) ™
о
sin (2-их)1 161 ПОЛИГАММА-ФУНКЦИЯ 59
PTT
-'JiS^iffi5-M* і'-к- <5>
1.16. Полигамма-функция
Определение:
VmM= dZl^izy —1.2.3, (1>