Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 17

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 87 >> Следующая


И в этом случае

Ofcfi1=O, « = 0,1,2,... (43>

Полное изложение теории чисел и многочленов Бернулли высшего порядка имеется в книге Norlund, 1922 и 1924, гл. VI.

Случай ?1,1=? = ...=:?= 1 полностью изучен в книге Milne-Thomsonr 1933, гл. VI.

1.14. Числа и многочлены Эйлера

Числа Эйлера En и многочлены Еп(х) определяются равенствами

1 2e* V г? I I * /IV

я=О

OO

2ехг

- = ^En(X)Z, |г|<я. (2>

в2 +

It=O

Дифференцируя равенство (2) по л: и приравнивая коэффициенты при «*, получаем

Е'п(х) = пЕп^(х). (3>

Еслн записать левую часть равенства (2) в виде

„ 4 / I \ OO OO

«* + і" ~ ZibrTTW ZiV2} т\

m—O

и перемножить степенные ряды, то получим

п

Еп(*) = 2 TrcrMx• (4>

о

Если же ГОЛОЖИТЬ В ЭТОЙ формуле X = Y> то

?я=2»?я(±). (5)

Из (2) вытекает

OO OO

2 (* +1) +?я Ml^=2^ = 2^

It-o я—о 56

ГАММА-ФУНКЦИЯ

[Гл. I

я, следовательно,

?»(*+!) + ?»(*> = 2*». {6)

Используя тождество

• 1, , 1. I

Zei _ __ggJ

L , , ег— 1 е*—\ » ,2 + 1

получаем из (2) и 1.13 (2)

M = тК^)-бя (?] = \\вп(Х)-2»вЩ. (7)

"Следовательно, из 1.13(11), 1.13(12) вытекают следующие соотношения: т—\ ,

Ea(тх)= тя 2 (-ІУЄ» (* + и -нечетное; (8)

г=О

от-1

En (тх) = - 2т» (п + 1)-' 2 (- irS»+i (* + ?), «і - четное; (9)

I-=O

?я(1-•*) = (- >)"?» (*)• (Ю)

Из

, , OO во OO

l^w Ti LHa = 1 E"lx+1) IS

г=А т=0 п—0

етол>чаем рекуррентную формулу

± Cra Er (X) =En (лг + 1), или 2 CrnEr (х) + En (х) = 2л:». (11)

г=0 г=О

Точно так же как в 1.13, можно получить разложение многочленов Эйлера в ряды Фурье. Для этого рассмотрим интеграл 2^ г-*-,е-*г(е*+1)-1 rfz,

взятый вдоль окружности с центром в начале координат и радиусом 2Nn (N— целое число). Из равенства (2) следует, что вычет подынтегральной

функции в точке Z = O равен —^p-. Отсюда следует, что

Etn(x) = (- 1)"4(2«)lj} |(2r+ Ditrrt-1Sin [(2г+ 1)**J, (12)

г=0

в= 1, 2, 3, ..., OsC^sC 1, Bta+t (X) =(- 1Г1 4(2n+1)1? [(2r + 1) я]-=»-' cos 1(2г + 1)wrj, (13)

г—О

/2 = 0, 1, 2..... О Sg* Sgl.

Из (5), (12) и (13) имеем

' от

?,„ = (-1)»2(22 (2г + ' П==0' 1' 2' ,14)

Emh=O. 05) I 14] ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ ЭЙЛЕРА 57"

или, используя обозначения 1.12(27),

/ 2 \ ая+1

Ein = (-1)"2 (2п)! ^iJ L(2л + 1), 1, 2, ... (16>

Равенство

OO OO

1 и _ 1 _ V P 2s" Y г3"1

~шсаг-1-LtimM ZiiЩі

O=O т=0

после перемножения степенных рядов в правой части равенства позволяет-подучить рекуррентную формулу для чисел Эйлера

Ec2ZnB2r=O. (17>

г—о

Применяя (14), находим

E0 = 1, E1 = - 1, Ei= 5, Et=-61, E8= 1385, ...

Интегральное представление для Ein получается путем замены L(ln-\-\y в равенстве (16) выражеинем 1.12(28)

OO со

(2 \ «и-1 (» мп р ліп

«) jh^-r*™}?(18)"

n = 0, 1, 2, ...

Разложения Фурье (12) и (13) могут быть заменены интегральными выражениями. В результате получаются равенства

я = 0,1,2,..., 0<с Re Jf < 1;

E (X) = (- IVй"14 F '""'«»(ил:) shfo)

?sn+I W ( ff ch (2irf) — cos (27Wf)at> W*

n = 0,1,2,..., 0<ReJC<l.

(Относительно дальнейших результатов см. Nielsen, 1923.)

1.14.1. Многочлены Эйлера высшего поридка. Числа и многочлены* Эйлера определяют при помощи равенств

2тег <«»+ •••+««> [(в2"»2 + 1)- (e2"*' + l)]-i =

OO

= Ich(ajZ)...ch (amz)]^= 2 С К - %,) J. (21>

я=О

со

1(1!"»' + 1)... (.*"•' +1)]"1 = 24"VІ «І — (22>

я=0

Ряд в формуле (21) сходится при | z \ < — | 0? Г1, а ряд в (22) — при |2|<я|<хг|-1, где величина определена формулой 1.13(31). В формулах (21), 58 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I

и (22) т — натуральное число, а O1, ..., ат — любые параметры. Частный случай m = 1, O1 = I был рассмотрен в 1.14. Ясно, что из (21), (22) и 1.13(35) следует

4^...^) = 2"?"^!*! - ап)- (23)

Числа и многочлены Эйлера порядка —т (т = 1, 2, 3, ...) определяют при помощи равенств

2-те- ^ + ...+V ((e2V + 1)... (е2*тг + 1)] =

OO

= Chfr1Z) ...Ch(«mZ)= (24>

л=0

оо

2—t»fr"'* +1)... (<>* + 1) = 2 4~ОТ) (* IV" ««)~г (25)

я=0

причем оба разложения сходятся во всей плоскости г. Относительно дальнейших деталей см. Norlund, 1922 и 1924, гл. VI. Случай (*.=?= ... .,. = Ont==I полностью изучен в книге Milne-Thomson, 1933, гл. VI.

1.15. Некоторые интегральные формулы, связанные с многочленами Эйлера и Бернулли

Из результатов предыдущих двух пунктов могут быть выведены некоторые интегральные соотношения. Во-первых, равенство 1.13(1) может быть записано в виде

со

Если заменить здесь Bin по формулам 1.13(24) и 1.13(27), то получим

OO

1 =1-1+2 JJH=Trf'' и®*1<2*; (2)

е*— 1 г

1 1 1 ¦ it f Sins (tz) ,,

лггт=5-т+т}-а?ил' |1гаг1<л- <3>

Если в 1.13(2) заменить Br (х) выражениями 1.13(20) и 1.13(21), а в 1.14(2) 'заменить Er(X) выражениями 1.14(19) и 1.14(20), то получим

ех- 1 . (* сое (2iwr) — e~Snt . .,4J, ^T = T+ J ch (2к() — cos(2шг) ™

о

sin (2-их) 1 161 ПОЛИГАММА-ФУНКЦИЯ 59

PTT

-'JiS^iffi5-M* і'-к- <5>

1.16. Полигамма-функция

Определение:

VmM= dZl^izy —1.2.3, (1>
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed