Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
= |*|<2». (2)
п = 0
Так как левая часть равенства (2) имеет вид
\ „ * \i (Xtym
L rIT' Zi '
г=о bi=o
то, перемножая степенные ряды, пол) чаем
В„(х) = л*+ C1nBxX"-1+ ... + Слл~1 Bn _{х + С?ВЛ = CrnBrXn - r, (S)
г—О
Ва(х) = 1, B1(X)=X--1, Bi (х) = х>-X+
Bt(x) = x» + 1*, Bi (х) = х*-2х*+х>-±, ...
Очевидно, что
Влф) = Вп. (4)
Дифференцируя равенство (2) по л: и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
Bn(X) = IB^l(X). (5)
Из равенства (2) следует, что
OO оо
W=O я=1
Следовательно,
Вл(х + \)=Вл(х), В,(х + l)-fii (x)e 1,
и вообще
Вп(х+\)-Ba(X) =пх*-1, п = 2, 3, 4, ... (6)
Отсюда вытекает, что
Bn (I)=Sn (O) = Bnf (7)
Так как
OO оо OO
я=0 /- = O <я=0
то, перемножая степенные ряды, приходим к рекуррентной формуле для многочленов Бернулли
2 CrnBr(x) = Bn(x+ 1), или 2 CrnBr(X) = HXn-1, и = 2, 3, 4, ... (8)
'/¦ = 0 г = 0
Из (5) и (6) следует
f
х+\
= — ! + H11 J = (9) 52 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
Поэтому
от — 1 от —1 г + 1 т
\ Bn(0It = ^Ba(t)dt=B™B™t (10)
г = О г =0 г О
п — 2, 3, 4, ...
Из равенства (6) получаем теоремы умножения и соотношения симметрии для Ba (*) (см. Fort, 1948, стр. 32, 34)
от-1
Ba (тх) = я.»"' 2 Ba (х+ Jj-], (11)
T = 0
Ba (Ї -х) = (- l)»?„ (х). (12)
Многочлены Бернулли могут быть разложены в тригонометрические ряды. Для B1(X) из формулы (3) находим
OO
B1(X) = X--Y = — 2 (rit)-1 sin (2wx), Ocxc 1. (13)
г= 1
Ряды Фурье для Bh(x) при k>-1 легко получаются с помощью вычетов. Рассмотрим \f(z) dz, где/(г)=Z^exz (ег — 1)~» (k —натуральное число, k > I)
і:
а контур С является (большой) окружностью с радт сом (2N4-1) л (Ы— целое) и центром в начале координат. Полюсами подьінтеї ралыгой ф\икции являются точки zr = 2nir (r = 0, ± 1, ±2,...). Вь,четы ф\нкции /(г) при г = ї 1, ±2, ... равны (2імг)~~(ге2я'л* Из равенства (2) видно, что вычет при Z = O равен Bil(X)Ikl Если О^дг-^1, то интеграл по окружности С при N-—oa стремится к нулю; поэтому, в силу теоремы о вычетах,
Bk (X) _ Yl' e-*irx
kl ~ Zi (?tfr)?•
г= —OO
Штрих означает, что надо опустить член, соответствующий значению г= 0. Отсюда вытекают разложения (п=1, 2, 3, ... ; О^лгг? 1)
Bia (¦*) = 2(— 1)™+1 (2п)! 2 cos (2пгх), (|4)
/•= 1
Вш+1 (*) = 2 (- lyw (2n + 1)! fj (2ЯГ)-4«"1 sin (2 кгх). (15)
г= 1
Полагая х—0, получаем следующие разложения для чисел Бернулли (см. также Schwatt, 1932, стр. 143):
Bta = 2(- 1)»+' (2п)1 2 (2^ГЛ, »2=1, 2, 3, ... ; (16)
Bta+1 = 0, Г= 12=1,2,3,... (17)
Равенства (4) и (8) позволяют получить рекуррентные формулы для чисел Бернулли
2?=0, п =2,3,4,... (18)
г—О 1.13] ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ 5S
Из (18) и (8) имеем
B0=I, B1--1, в, = !, Bi= Я, = ± ... (19>
Численные значения для Bin вплоть до В1л и рекуррентные соотношения можно найти в книге RamanuJan, 1927, стр. 1.
Из (14), (15) и 1.11(4) вытекают следующие интегральные представления для многочленов Бернулли:
S2nM = (- D-(2«) I Гм-^Г'1 dt' (20>
о
О<Reд;<С 1, п=1,2,8,..4
oo
w = <- (2» + ») J Ch HtS- SW)* (21>
О
0< Re д; < 1, n = Oi 1, 2, ...
Используя равенство (16) и 1.12(22), получаем выражений чисел Бернулли через дзета-функцию Римана 1.12(1)
Bin — (— !У"1"1 (2it)-sn2 (2п)! С (2л), n=0, 1, 2, (22>
Bin = — 2пС [— (2я — 1)], п=1,2,3,... (23>
Из 1.12(4)—1.12(8) получаем интегральные представления для Bm (п—1,. % 8, ...)
OO оо
В,п = (- 1 у»*4я = (24>
OO
Bm = (— 1)»+' 4n (1 — 21_іл)_15 *»«"» (е1** + 1)-1 at =
о
(—iy+t2n ? tla~l ^
_(—іун"д2я
^sn--2і»-1 \ lh(irff• ^
00
^ = (-1^1 -5?-, (27)
? -MTi^F J^L ,9Я>
j _ 2i-sn \ • (28)
Дальнейшие результаты можно найти в книгах Nielsen, 1923 и Ramanulan1 1927, стр. 1. 55 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
1.13,1. Многочлены Бернулли высшего норядка. Числа и многочлены бернулли порядка т определяются соответственно равенствами
oo
^...^[(^'-1)...(^-1 r-j^^-oS- |2|<й- (29)
я=0
оо
«1...ви«-[(і*'-і)...(/-'-і)Г1*'»=а 2fiSVl V"e«>5« (30)
л=0
і і 2,1 |г|<Н-
Здесь т — натуральное число, а» ..., лт — любые параметры и
I аг I = max [Ia1], ..., |<*m|]. (31)
Лрн я» = 1 и а, = 1 формулы (29) и (30) сводятся соответственно к (1) и (2). Очевидно, что
В?] (0 Ia1...ат) = Btp (?... ««X (32)
^ К) = ^,,(?- (33)
Из (29) и (30) следует
(*К •••«») = S С^'ВЙ (a,... «J. (34)
I=A
Введем обозначения
fc=l(ei + ... + am) (35)
и
of> = 2»?f)(e|v..*m). (36)
Можно показать, что
D^1=O1 л = 0, 1, 2, ... (37)
Таким образом, из (30) следует
я=0
Числа и многочлены Бернулли порядка —т (т = 1, 2, 3,...) определяются соответственно формулами
oo
(^-1)...(/^-1 ж... - ««>-?-. w
я=0
oo
(^-1)...(/^-1)(?....j-w=2^(^1-^)5- w
я=0
Оба разложения сходятся во всей плоскости г. 1 14] ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ ЭЙЛЕРА 55
Из (35) и (40) получаем при х =—5
sh(Qt1S)...ShfraZ) _ у j_OT),
Ot1... amZm (2я)1' (41>
я=0
где
D^m = (42>
