Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
сводится соответственно к синус- и косинуміреобразованию Фурье.
Обобщение интеграла Ганкеля было дано Харди (1925), который доказал формулу
OO OO
/(Jt) = J G v (Xt) t dt J Fv(Vt)Vf(V) dv, (61)
где
(z \v+2a+2m
7 22-v_2es iz\
.. 1г1== . _U_- ,62)
V[J jJ Г(а + т + 1)Г(а + т + у+1) Г (а) Г (v+ d) '
m =O
Gv (Z) = COS (ая) Jv (г) + sin (an) Kv (z), (63)
справедливую при следующих условиях (Cooke, 1925):
З З
I. в> —1, e + v>—1, v + 2e<y,
II. taf(t) интегрируема на (0,6), о= min (l -J-v-|-2a, > б > 0«
111 Yt f (t) интегрируема на (6, со). Теория разложения (61) дана Куком (Cooke, (1925).
Частные случаи формулы Харди Если а = 0, то мы получаем Fv (г) = (z), Gv (z) = Jv (г). Этот случай сводится к формуле Ганкеля (60).
Если а — у, то получаем Fv (z) = Hv (г), Gv(z) = yv(z). Это приводит к
OO OO
/(X)= J Yv (JCt) t dt J Hv (vt) v/(v) dv. (64) 86 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ ВЬССЕЛЯ ТЕОРИЯ |7.ЮЛ
Если в«=—.-І-, то получаем
/(X)--J Yv (xt) t dt J -Jt--Hv (Vt)
о о
Если, v =-g-, то получаем
,v-i
V f (v) dv (65)
^v W = Сзд+І (г)і = ]f -Jisin^z-
где C2a+1 (г) — функция Юнга 7.5(85). Формула Вебера — Oppa
OO
ft*- Г -M**) MaQ--Zy (at) Kv (tx) П) J (М<*)]2 + [М«0]а Х
О
со
X J IJy (Vt) Yv (at) - Kv (Vt) Jv (at)} v f (v) dv (66) в
OO
справедлива, если v вещественно н интеграл J Yt | / (О I dt сходится. Она
а
сводится при у = ± у к синус-преобразованию Фурье (Tltchmarsh, 1923;
Ватсои, 1949, стр. 516).
Другая формула, принадлежащая Титчмаршу (1925), имеет вид
JU OO
/(х) = л J rv (xt) t dt J (-?-) [t Av (v<)] V / (V) dv, (67)
ff О
где
ГV W = Sln (ля) {[/v (г)]* - [Kv (*)]»} -2 cos (ал) Jv (z) Yv (г), (68)
- (_!)>» г (v + m + e + i)*2v+2*+2m
Av(Z)= Y -J-—-. (69)
/По ^1ТГ(а + /и + 1)Г(у + в + /и+1)Г(2« + в-И/и + 1) V
Она справедлива при следующих условиях (Cooke, 1925).
а> — 1, a + 2v>-l, l>e-|-v>-i, |v|<l,
ff (t) интегрируема на (0,6), а = min (1 -f- 2v -f 2a, 1), tf (t) интегрируема на (A, со), б > 0. Теория разложения (67) дана Куком (Cooke, 1925). Частными случаями формул (68) и (69) являются
а = О, 1\ (г) = -2 Jv(Z)Yv (г), Av (z) = [Jv (г))',
««=— v. Av(z) = Jv(Z) J^v(z),
«=-2v, Av (г)= (У _„(*))». 7.10.3] 7.10. ПРЕДСТАВЛЕНИй^ ФУНКЦИИ в ВИДЕ РЯДОВ и ИНТЕГРАЛОВ 87
Обобщение интеграла Лапласа, содержащее функции Бесселя, дал Meiler (1940, стр 599, 703):
С+і оо со
/<¦*>-/?¦ J /v (Xt) V* dt j Kv (tv) Vtir f (V) dv. (70)
C-Zoo О
Так как Kv(z) K-V(z) (см. 7.2(14)), имеем также
С+ I OO VJU
/{Х) = Ш J iyv (-**) + /-v (*')] V* dt Г Kv (Vt) Kw / (V) dv (71)
C-Jco О
(см Boas, 1942). В случае v« формула (71) сводится к формуле'Лапласа. Другими интегральными представлениями произвольной функции являются
Ioo оо 1
/W--\ J Ut (x)dt J Hp (V)/(V) Ц (72)
— / OO ч
(Конторович и Лебедев, 1938),
OO ^ OO
/(*)-& Je^'^KiuumdtJe^^^K,^ (a)/(V) dv, «> 0 (16,
—СО -OO
(Crum, 1940),
OO со
/М—у/ Jlt^sbrW)1'(еХ) 'dt J Iу"+-7-"^)1 f ЫdV <74>
О -ш
(Титчмарш, 1946, стр. 83),
OO со
¦^¦J Ku (X)ISb (Ж) dt J
*/(¦*> = 13" I К" (X) Ish(Kt) dt I Ku (V) f (и) dv (75)
(Лебечев. 1946),
O+l OO
/M = ^r I «/Wi/ I '/(V1I1(V) dv (76)
If J tKi (X) dt J W-»/ (V, /«(V) dv
o-Ioo o
Я/
(Лебедев 19+7) Относительно других примерои см Hardy (1927) и Hardy и Titchmarsh (1933)
Дуальные интегральные уравнения, содержащие функции Ьесселя. В некоторых задачах теории потенциала и теории электромагнитных и акустических волн искомая функция удовлетворяет одному интегральному уравнению на части луча (0, оо) и иному интегральному 88
гл. 7. функции бесселя. теория
|7.10»
уравнению на другой части »того луча (Nicholson, 1924; King, 1935, 1936; Sommerfeld, 1943). Пара уравнений (Тнтчмарш, 1948, стр. 337; Busbrldge, 1938)
j У°/(У) А, (xy)dy = g(x)< 0<*<1,
OO
//(у)ЛШ rfy = 0,
х> 1,
(77)
имеет при а > О решение
IeTie Г — і
Г (j)/ (X) = (2*) j t ^J ±(xt)dt\g(vt) (1 - u>)2 " dv. (78)
О V+2 О
В частном случае а = 1, v =* 1, g (лс) = 1 имеем решение
у/С*) = JC-2ShiJe — je-1 COSJt
Пара уравнений (Tranter, 1951)
w
Jy *(y)Jv(xy)dy = f(x), 0<JC<1. о
OO
j ^(y)Jv(xy)dy = F(x), х>1.
(79)
имеет решение
ф (У) = н (У) + j/^f J 'V+ 2L (t) J^1 (ty) dt.
где
W
H (У) - F (1) Лі+і(У) + У f xF(x)Jv (ху) dx, і
t со
А«¦- (!) " J JW==? Y{х) - JуН Ь) Jv *у
Решением уравнений
OO
J * (У) Jv (ху) dy = G(X), О <х< 1,
J у Ф(У) Jv(xy) dy-g(x). х>1.
(80)
(81) dx. (82)
(83) 7Д1] 7-11. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ 89
является
I
(84)
где
OO
К (у)=Jxg(x)Jv(xy)dx,
і
Z2v E (О = Al (O) +* j (Я —-г*)" Af' (je) гід:,
и
Л!
OO
(*) - JTvO (JC) -JTvJk (У) У V (Jry) riy.
(85)
(86) (87)
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФОРМУЛЫ
7.11. Элементарные соотношения н различные формулы
Сферические функции Бесселя. В формулах (1)-(13) я = О, 1 2,...
""('-Tl) St-4" ("+T' гя)(2г)"г* +
