Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
<=о
соответствующим рядом Каптейна (25), мы получим, после некоторых преобразований,
/(*) = *-v SaB/v+,l(v + B)«] (28)
л=0
(v не является положительным целым), где <7
«^IJlv + .-fclTH/.-slj^P" (29)
5=0
Ряд в (29) абсолютно сходится, если
|ю(г)|<1 и |ю(*)| Clw(P)I, где р — радиус сходимости ряда (27). 7.10.31 7.10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 79
\
Радом Каптейна второгЬ рода называют ряд типа
оо \
у J Г(У + р\+2,),1 Г(у + р + 2Я)г1
лл . 2\ J р+5 L 2 J
(3))
п=0 2 2
Можно показать (Nielsen, 1904, стр. 307), что (f)V+P = (v + p)r(l+v)r(l+p)X
я—о
X Jv+n [(V + р + 2я) z] J^n [(v + р + 2л) г], (31)
где v, р, v -J- р не являются целыми отрицательными числами Далее, пусть
OO
I=о
Тогда (Nielsen, 1904, стр. 308) мы имеем *
• со
п=0 2 2
где
'2±?±?Vv+P+2n+2)/29-(v+P+«)/2„ _
2"
. п
+Ij
"sI ^v + P + 2/i —4sjr^v + /i —2s+2jr^p + /i —2s + 2j
2-
Г-
+ р + 2п — 2s — 2>
XlN I Jbn-,S- (34;
Относительно дальнейших примеров н результатов см. Nielsen (1904, гл. XXil, XXIII); Ватсон (1949, гл. XVII); Bailey (1932); Budden (1926) 7.10.3. Ряд і Шлемнльха. Ряды внда
OO
/W = -Il+ JJ amj0{mx) (35)
т = \
были изучены Шлемильхом. Имеет место теорема разложения для произвольной функции вещественного неременного X на отрезке (0, я) (Грей и Метьюз, 1953, стр. 52; Ватсон, 1949, стр. 679). 80 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.10.2
Если функция / (л), заданная на отрезке /О < х < я, имеет из »том отрезке непрерывную производную с ограниченным изменением, то она может быть разложена в ряд вида (35), где J
я J
Я 2 /
«о = 2/(0) + ^ JbJ /' (V Sln ф) tfq> dv.
(36)
я
Я ~2
ат Jv cos (то) J /' (v sin ф) <iq> da. (37)
о о
Обобщенный ряд Шлемильха имеет внд
2 |am Jy (тх) + Ьт Hv (/и*)] \ (38)
Теория таких разложений изложена в книгах: Ватсон (1949, гл. XIX) и Nielsen (1904, стр. 134). В работе Кука (Cooke, 1928) установленные в книге Ваісона результаты частично упрощены и обобщены. Теория основывается на формулах
J
Jv (г sin в) (sin 0)v+1 (cos 9)~2v«
2 !
Hv(гsin 6) (sin6)v+I (cos0)_2v dQ 1
2V Vn
^rjl-vj^-1 (1-cos*), _|<Rev<i,
(40)
которые легко вывести нз равенств 7 7 (5) и 7.7 (9), полагая в них ц = v и 0 = — V — у. Предположим, что имеет место разложение
OO
/ (X) = 2 [«я, ^v {тх) + Ьт Hv (тх)]
m=l (41)
— Y < V<у, — я<*<я.
Заменим здесь х на JrslnO, умножим обе части на
(stn9)2v+1(cos o)-2v. 7.10.3] 7.10. ПРЕДСТАВЛЕНИЙ^ ФУНКЦИИ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 81
\ я
проинтегрируем по 0 от нуляХдо "2 и применим формулы (39) н (40). Тогда мы получим формально \
f 4V
Г / (х sin 9) (sin 6)2v+1 (cos 9)-2v dd S
OO
= -4=г Д — vj ^ [ат sin (тх) + bm (1 — cos тх)).
m=\
Следовательно, для коэффициентов разложения (41) имеем
я 2
Г (т ~ V) ат = Y^ ("'sin^ (* fit Sin9)(sin6)2v+1 (cos9)-2v dB dt, (42)
-я о
я
Я 2
Y^ J tC0S J f У Sin0) (Sin0)2v+Vcos B)-2vdBdt. (43)
—л 0
Ряд (41) с* коэффициентами (42), (43) называют рядом Шлемильха функции f (х).
В упомянутой выше работе Кука доказано, что класс функций, для которых разложение (41) с коэффициентами (42) и (43) справедливо на всем отрезке, исключая 0, ± я, совпадает с классом функций, к которым применима теория рядов Фурье. Далее, установлены теоремы, аналогичные теоремам Римана — Лебега, Парсеваля и Рисса — Фишера для рядов Фурье. В этой связи см. также Cooke (1927, 1929, 1930b, 1936); Wilton (1927); Jes-manowicz (1938); Wiikins (1950а).
Рассмотрим теперь некоторые простые примеры разложения Шлемильха (41). Положим / (X) = (cur) ^ Hv (а*) (а произвольно). Это — нечетная функция от X (см 7 5 (55)); из формулы (41) мы имеем ат=0. Принимая во внимание равенств (40), мы получаем из (43)
"*'¦ — -sin(an)
т4 — а-
и, таким образом,
я (cuf)~v Hv (ах) = 2-v + 1sin (ая) ? (- 1)™ -J^r V (44)
га = X
Разделим обе части равенства (44) на sin (ait) и устремим а к нулю. Мы получим (см. 7.5 (55))
"" V-I
Iv (тх) яш О,
(45)
-—J—зТ+ V(-ir(^p4(^)~0. ^ Г + Т/
J
О < je < я, Re V > —-j-. . tgop
CS гл. 7. функции БЕССЕЛЯ. теория (7.10.4
Пусть теперь / (лг) = (cur)-v Jv (ах). Здесу' /(х)— четная функция от л; и. следовательно, bm = 0. Из равенств (42) и/(39) получаем
і
(_ i)m 2_v+/ *««.-- a(w2_tt2) sln («") я»2
и, таким образом,
л (Ojf)^v Jv (ах) = — 2" v+1cT1 sin (ak) X
X ^ (-^) О < л < л, Re V > — у. (46)
/я =1
Устремляя в равенстве (46) а к нулю, получаем
со
2 Г (V1-H) + S (-1^ (1T-)~V -ZV (шх) - 0, (47)
Itlcl
— Y < v< и 0 < .* < я или н 0 < д:<я.
Из равенств (45) и (47) видно, чю существуют сходящиеся обобщенные ряды Шлемильха с неравными нулю коэффициентами, сумма которых почти всюду равна нулю. Такие ряды называют нуль-рядамн (Nielsen, 1904, гл. XXV; Fox1 1926; Cooke, 1930). Существование нуль-рядов указывает, что если даже существует разложение Шлеынльха некоторой функции, оно не является единственным.
