Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
M-I _
2 Г («+1.) Y(P2-X2Tm X
_ -Л
,/ft- ря
101
(16)
(17;
(18)
Ypi- Jfs
X5in(-^+pArch + (19)
р > X > 0, Ьт определено в (12),
і -(m+1)/3
Kh(X)-I.-'** ? (-1)"С<*<">s,n[(" + DfM^T1) (І) тшО
рях, р. х>0, е = о(дГад), (20)
C0(Ear)-I, C1(M) = Mf C2 (ex) = i.(w:)'+ -L1
Cs (EJf) = -g- (EJf)' +^-EJf1 C4 (M) = A. {tXy + -I-(M)' + ^-, (21) 1 1 43
C6 (M) — -Jggr (EJf)8 + -gg- (tXf + -щд- М, 102
гл. 7. функции бесселя. формулы
17.13.3
$ (*) = 4 exp ^ VP2 ^xi- Ip arcsli ?-) X
YpijTXi
г M-I
X е(2р~
D я/4
2 (- Om Г [т +1) Vipi+ л?Гт + 0(х-м)
р, х > 0, Ьт определено в (12).
т=О
7.13.3. Переходные области. Формулы Никольсона (х~п, п — натуральное). __2 _1_
J«(x)~3 3 (v)Vi і
з 3
*>л, і'
Jn(X)^a-iS
і і Г6
4/
і 2
6 /|\з
2(п—х)*
Xj «1
Гв(*)~-3~й ЩТГ/г (I)H-Jt ! <0
1 1
2 /
3 К X
Nf(X)^f'[І)" Hfm, l =
где arg (х — л) = 0 при X > л и arg (jc — л) = л при х < л -'Формулы Ватсона
-U-*) =
/3
X > р, o = /да
(fH+Mf1)
COS б
-parctgw да = ^— —1,
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
+ О (/>"'), (28) +0(/.-?. , (29)
Jp(X)==-I^rwePa +О (р-Ч (30)
У, M - ~^ [ /, [f-) + /_ , (^)J + 0<rt (31)
(W3 \ / Xr
я» + -g--ArtliwJ, » = y 7.14.11 7.14. интегральные формулы 103
7.13.4 Равномерные аснмнтотнческне разложения. Формулы Лангера.
7, (х) = р, M cos (? - У, (z) sin (I) j + o(/*),
(32)
/^F Wsln (1) +Г, (,)cos (Dj+oC"1).
__(33)
x>p, w = "[/^"^7 — 1 > г = P(W-Srctarw)1
JpM = I K1 (z) + O(/'), (34)
з
Yp(x)=-yf Ij-Zi(г) + / I(z)j + o(/?), (35)
x<p, w»»'"j/^l — , г = /?(Arth w—w).
7.14. Интегральные формулы 7.14.1. Интегралы по конечным отрезкам.
J zv+1 /v (z) dz - *v+1 /v+l (z), (1)
J *"v+1 /v (z) dz - /v_, (z), (2)
J *v+1 Kv (z) dz--Kv+1 (z), (3)
J Kv (z) dz--Kv., (z), (4)
J Jv (z) dz =2V_1 KH Г (v + i) z [7V (z) Hv_t (z) - Hv (z) 7V_, (*)], (5) . « J Kv W dz=2*-lVHr(v + ^)z [Kv (г) Lv-, (*) + Lv (z)Kv-, (*)]. (6)
J>7V W <f*-(|t + V- 1) zJv (z) Vi. v-i (*)-*/v-i W V v (*) (7)
Формулы (5) и (7) сохраняют силу, если заменить в них функфш Бесселя первого рода -функциями Бесселя второго рода или третьего рода. 104 гл. 7. функции бесселя. формулы 17.14.1
Пусть wv (г) н (Z) — лю&ые функции Бесселя первого, второго или третьего рода порядка v и ц соответственно: тогда
J [(Paг+ ] wv (аг) Wu (?z) dz -
-'IeW11 (?*)я»;(аг)- ? wv (аг) Wa(Рг)| -
- а* Wu (М ®v-1 (аг) - (іг W„_, (Рг) mv (аг) + (|і — v) Wu(0г) w„ (аг). (8)
J г Wv (аг) Wv(?z)dz —
- pr~ї № ^vi (N) wv(аг) -а Wv(fte) wy+, (аг)]. (9) J г wv (аг) Ww (аг) </г —
- і- г» |2 wv (аг) Wv (аг) — wv+I (аг) Wv_, (аг) — wv_, (аг) Wv+I (аг)|, (10) J wv (az) Vv (az) Щ- — jj- wv (аг) Wv (аг) +
+ ^„[.„,(„,«^-^(^IbjiM]. ,.и
Пусть ov (г) и Hri (г) — любые модифицированные функции Бесселя первого или второго рода, имеющие соответственно порядок V и ц. Тогда
J [(P1 - о») г + P1-vtJ ш V11 (Рг) dz -
- * [- « У* (Р*) <<«*> + P »v («> К (Р*)]. (12) J z[vv(az)fdz--? {[<(аг)]»-[Vv(ог)]2(1 + V)}. (13)
Относительно других неопределенных интегралов ем. Ватсон (1949, стр. L46— 151); Thlelmann (1929); McLachIaii (1934, стр 115); McLachIan н Meyers (1936; стр. 437); Straubel (1941, 1942); Picht (1949); Horton (1950); Luke (1950).
я T
j" Jfk Iж (sin Є)а1 Jv [z (cos 0)«] (sin 0 cos 0)"1 rfO - (V~ ? Jv+»(z\ (14>
Re V > 0, Кец >0,
я
T
j* J^ [* («In 6)'] Jv [z (cos Є)*] ctg 0 de - (15)
Rev> —1, Ren>0|, 7.14.11 7J4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ формулы 105
я
7 і ^
J J11 [г (sin 0)1 /, [z (cos 8)1 stn 0 cos 0 dB - j ? (-1 )"/*+|l+Jei ¦,(*), (16)
0 m-0
Rev>— 1, Refi >—1,
я
Г
J Jlt Iz (sin Є)2] Jv [z (cos 0)21 (sin©)2*"1 (coso)20"1 i/o (17)
(Balley, 1930, стр. 419, 1930c. стр. 203; Rutgers. 19&1),
J Ух Kz s,n 0) Jy (г sin 0) (sin 6)24+1 (cos 0)^1+1 rf0, (18)
2
J Jx (Z sin 0) yv (z cos 0) (sin 9)A+1 (cos 0)2fi+1 d9 (19)
о
Balley. 1938. стр. 145),
л
2
\2o + l (лл. fi^H + 1
J IJv (Z sin 0))2 (sin O)20 +1 (cos О)2*+1 rfO (20)
(Balley. 1938. стр. 141),
n
2
J |yv(гsin0)|Jsinerfe- ^ yav+a„4-i (2«)z~\ Rev>-l (21)
U mmu
г
JV SJn(2— t)Jv(t)dt, (22)
O
«
JtkCQH(Z-I) Jv(t) dt (23)
(Balley 1930c, стр. ДМ, 205),
л
г
sin 1я Iv + И)! J KviIvQz cos О) cos |(ц — v) 0| rfo -
u
- —/„(г)/№(г)|, |Re(M+v)|<l. (24) 106 гл.- 7: Функции бесселяі формулы [7.14.2
7.14.2. Несобственные интегралы. Интегралы, содержащие показательную функцию.
OO
J Ksv(at) Г+**- -i^exp (--g,) X
о
X [i, (|r) tg (vn) + Kv (?], I Re VI < І-, (25)
OO
J #-?-1//'"^) Л 2/(,(2*)Я™(2*) (26)
U
(Hardy, 1927),
OO
T Zv («о -Ql exp (?^ (?. Rev> —1, Re V2 > О (27)
О 2
(см. также 7.14 (60) — 7.14 (79).
{i Частные случаи интеграла Вебера — Шафхейтлина.
OO
J t~l Ум (at) sin (W) dt ш. (і-1 sin arcsln при b < а,
° _ (28)
- sin f-^-J (b + yb' — a* )-11 при b>a,
Re p. > — 1,
