Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
пенного ряда, си. 7.2(2), ((последующей перегруппировки слагаемых в правой части по степеням г. При этом все коэффициенты, за исключением коэффициента при гv, обращаютйя в нуль Пусть теперь
/ (^) -2 b^-
<=0
Заменяя каждую степень г ее рядом Неймана (2), получим
XJ OO
/ (z) » ? S V + lm\2m Г (v + / + «*) A+l+ш«.
/=0 Ot=O
Следовательно,
/(*) = г"v 2 anJv+n(z)'
л=0
где
<т
% r(v+7s) (3)
i=0
Обратно, коэффициенты можно выразить через ап (Nielsen 1904, стр. 271) В виде
Ь, Г (v + / + 1) = 2-'-' ? (-I)1" (V + (4)
я) = О
Представляют интерес некоторые случаи, в которых для суммы (3) могут быть получены более простые выражения Например, положим
OO
I= О
Тогда из равенства (3) после некоторых преобразований получаем
«„-T-^l (V +Л+1)^,(-?-, -Ц^-; I—л —V, Y"s). Используя многочлены Гегенбауэра 3.15(8), получаем формулу Сонина
І» e'v* = 2V Г (V) 2 і" (v + л) CJ (Y) yv+n (г), v * О, -1, -2, ... (5)
л= О
Разложение функций Бесселя в ряд Неймана (ir/1" M")1' (V + !)-
OO
- 'I V + 1; аг)Г(ц4-д)(ц + 2я)T11 ^an(г) (6)
п=* О те га т. функции бессеЛя. теьрия рлол
легко может быть установлено аналогичным образом, разложим левую часть равенстна (6) в степенной ряд по г и используем формулу (3). Таким же образом получаем ряд Неймана для функций Ломмеля 7.5(69)
СО
s 1-ї ,-^+1Y О*+1+2/1) Г (к+ ! + /г) m
V V 2л п |[(2я+1 + м-)2- V*] Vm+и. W
п = 0
Используя формулы 7.5 (82)-7.5(84), можно получить аналогичные выражения для функций Ангера, Вебера и Струве. Относительно дальнейших результатов ср. п. 7-15, Nielsen (1904, гл. XX); Ватсон (1949, гл. XVI); Bou-doux (1945, 1946).
Теория разложений функций / (х) вещественного переменного х в ряд Неймана основана на интегральной формуле (см. 7.14 (32))
О, тфп,
(4n + 2v + 2)-1, /и = л, v> —1.
о
Из нее мы получаем формально разложение
OO OO
/w=S(2v+2+4я)Jv+*a+i{х)! г1/y^sn+'dt> v>~l (8)
я—С О
Теорию этого разложения построил Wllklns (1948, 1950). Частный случай v = 0 ранее рассматривали Webb, Kapteyn1 Bateman (Ватсон, 1949, стр. 586); Kom (1931) н Тнтчмарш (1960, стр. 93). Относительно почленного интегрирования рядов Неймана см Хардн (1926). Ряды вида
V «„У „ (z)J „ (г) (9)
йо ^+T V+T
называются рядами Неймана второго рода. Если заменить здесь произведение двух функций Бесселя соответствующим степенным рядом по формуле 7.2 (48), то получим соотношение
^v"11 2 е»7 « Wj п bI <10)
b=O И+у v+"2 Sl
где
<4
г (v +1 + f) Г (ц +1 + ?) = 2-'— 2 (- 1Г (' + V + (11)
т = 1
и, следовательно, (Nielsen, 1904, стр. 292) ля — 2V+11+" (v + ц + л) X
V 2, Г(У + |і + Л-І)Г(У + 1-І+-^)Г(|І + 1-І + |)
si Г (v + |А + л — 2s +1) ~ (12)
«.о r.10.11 7.10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ Tl
\
условии, ЧТО HH JLt, Hll V, ни Ц -f- V не являются целыми отрицательными
числами. Формула (12) дает преобразование степенного ряда в ряд Неймана,
Не;"
при условии, ЧТО HH JJl,
. _ . ) . , и можно показать, что полученный таким образом ряд Неймана равномерно сходится внутри круга сходимости степенного ряда
Простым примером является разложение степени г. Из (12) легко получаем
л)_ V у + И + 2П /у + |! + п\
Г(у+1)Г(ц + 1) -L ч + Vi + n [ п J A+. W-V-M- (13)
п-0
(Относительно дальнейших результатов см. Nielsen, 1904, гл. XXI; Ватсон, 1949, стр. 578; BanerJee, 1939.) Относительно рядов, содержащих произведение любого числа функций Бесселя, см. Stevenson (1928). Модифицированной формой рядов Неймана является ряд
UO
%апг»^+п(г). (14)
я=0
Из контурного интеграла, см. 7.3 (5), непосредственно вытекает следующее равенство:
со
(И-x^Jy{z (15)
п=0
"Полагая здесь S = I и T2 = I — Xs, получаем теорему умноження для функций Бесселя
QO
Jy (Xz) _ V 2 W- (16)
п = О
Отсюда, устремляя А, к нулю, выводим, что
OO
(If. = 11''+1^?!^{г)¦ W
П= О
Эта формула аналогична формуле (2).
Равенство (17) полезно для преобразования степенных рядов в ряды рассмотренного выше вида Мы имеем
OU JU
2 V21 = *"v 2 Jv+ „ (Ж), (18)
1=0 п-0
где
V r<v±i±lL
" mU (п — s) I s' v '
S = O
и, следовательно,
я
г (V-M+ 1)^ = 2"?11 2'V""San^ (2°)
S=O
(Nielsen, 1904, гл. XXI). 78 гл. 7. функции бесселя. теория 17.10.2
7.10.2 Ряды Каптейна. Ряды вида
• 00
Se»yv+n[(v + /i)i] (21)
я=0 /
называют рядами Каптейна. Из неравенстч/^Ватсон, 1949, .стр. 295)
Ua («) I < (l +Iii^ I ) I Л» vt^H + (22)
очевидно, что ряд (21) сходится в области, в которой абсолютно сходится
ряд
Jj «„[»<*)]" (23)
я=0
где
гв^-*1
Разложение степени г в ряд Каптейна
со
где V не является целым положительным, может быть проверено путем замены каждой функции Бесселя в правой части равенства ее степенным рядом 7.2(2). Ряд (25) сходится в области
I ю (г) I < I. (26)
С помощью равенства (25) можно преобразовать степенные ряды в ряды Каптейна Заменив каждую степень г в разложении
= (27)
