Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Оіносительно других результатов и примеров, касающихся рядов Шлемильха и связанных с ним рядов см PenneIl (1932); Bennet (1932); Uoetsch (1935); Erctelyi (1937); Kober (193?; Watson (1931), InfIeld (1947); Magnus н Oberhettinger (1948, стр. 58—62). Разложения, в которых функции Бесселя н Струве в (38) заменены их квадратами, даны в работе: ThieImann (1934).
7.10.4. Ряды Фурье — Бесселя н Дннн. Пусть v> —I, а х = ути х = у„ — два положительных нуля функции Jv(X) (в этом случае все нули функции Jv (х) вещественны; см. п. 7.9). Используя 7.2 (56), получаем из 7.14 (9) н 7.14 (10) соответственно, что
О, пф т.
tW^r, (48)
1
J
1
tJv(ymt)Jv(y„f)dt =
Аналогично, если Xm н Xa означают два положительных нуля (см п. 7.9) функции zj'v (г) + aJv (z), где v > — -і- и а — данная коне ганта, из формул 7.14 (9), 7.14 (10), 7.2 (54) н 7.2 (55) следует, что і
J ^v M Jv (V) dt =.0, пфт,
и
= К К (Mf + (4 - ^ ['v (^H- « = (49)
7.10.3] 7.10. представлений^ функциИ в виде рядов и интегралов 83
Интегральная формула (4ІІЇ выражает свойство ортогональности функций Бесселя и указывает на то, чтЬі произвольную функцию / (х) вещественного переменного х можно разложить в ряд
V
/(JC)= 2 jV (Ym*). (50)
RI=I
где
1
. (Ym)]' -Tp- = J tf(t)Jv (Ymf) dt (51)
и Yi. Yj. Ys. • • • — положительные нули функции Jv (*), расположенные в порядке возрастания их величины. Это разложение называется разложением Фурье — Бесселя функции / (jc). Аналогично из (49) мы имеем
/W= Jl bmJv(XmX), ' (52)
OT=I
где
1
{^[^(^ + (^-^1^(^)^ = 2^ J t Jv(XJ)/(t)dt. (53)
о
Здесь V > — -І- и Xv Xb ... — положительные нулн функции zJ'v (z) + aJv (z),
расположенные в порядке возрастания их величины. Это разложение называют разложением Дини функции / (х).
Теория разложений Фурье — Бесселя и Дини дана в книге Ватсоиа (1949, гл XVIII). Имеет место следующая теорема. Пусть функция УТ / (t)
абсолютно интегрируема на отрезке (0,1), и пусть v>—Тогда, если
0 < X < 1, то разложения (50) и (52) имеют место одновременно с соответствующими разложениями в обычный ряд Фурье (см. также Moore, 1911; Stone, 1927; MacRobert1 1931; Титчмарш, I960, стр. 97) Относительно поведения около точек X = I и je — O см. Ватсон (1949, стр 652, 660, 674) и Young (1941) Относительно явления Гнббса см Cooke (1927); WlIion (1928); Moore (1930). Относительно рядов, аналогичных (50) и (52), но содержащих квадраты функций Бесселя, см. ThleImann (1934).
Пусть, например, / (Jt) »= Jrv, тогда мы получаем из (50), (53) и 7.7 (1)
2-MVm*) О < Jr < 1, (54)
Yot An-I (Yra) ' от =1
_2Xm Jv (XmX) Jу +1 (Xm)
W. -OiyV (К)]2+? [К M2' }
0<лс<1, e + v>0. ія. JL>\
84 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ (7.10Л
/
Если- / (Jf) = Jv (xz), то мы получаем из ^14 (9)
о<,<1. ад
yV W (V2m-^2)Vl(Vm)
. . . 9 Y ^7V ft»*) t^JV-H ftm) jV (*> ft») Vl (*)]
0<*<1.
Относительно дальнейших примеров см. п. 7.15.
Разложение в ряды по функциям Бесселя, которые пригодны для положительных конечных отрезков, дано в работе: Titchmarsh (1923а, XIII — XVI) (см также MacRobert, 1931).
Пусть функция / (jr) определена на отрезке а < х < b (а > 0). I огда искомое разложение имеет иид
OO * .
/(ДГ). 2 а>" fyv (Vmjr) У у (Ymft) - Yv (Ym-O Jv (Ym*)]! (58)
/я=1
здесь г Ym явлиется т-м положительным корнем уравнения Jv (az) Yv (bz) — Yv (az) Jv (bz) = О
и
Wv (Yme)]*-Cv (YmWl -ъ
- JVm IyV (Yme)]' J fv (YmO (Ym*) - Yv (YmO Jv (Y J)\ t f (О dt. (59)
а
Обобщенные ряды Дирихле. Ряды вида /(s)" 2 InVT^Kv(XnS)
B=I
I <
изучал Qreenwood (1941). При V = — онн сводятся к рядам Дирихле
B = I
Относительно различных теорем, касающихся этих рядов, см Oreenwood (1941).
7.10.5. Интегральные представления произвольных функций. Теория рядов Шлемильха (см. п. 7.10.3) дает метод для выражения любой произвольной функции в виде ряда по функциям Jv и Hv. Аналогичные методы могут быть применены для того, чтобы получить соответствующие выражения произвольной функции в виде интеграла, содержащего функции Бесселя и связанные с ними функции. Мы будем в дальнейшем предполагать, что / (t) является вещественной функцией вещественного переменного t, имеющей ограниченное изменение в окрестности точки t — х. Если функция / (jk) имеет разрыв при t = х, то в дальнейших формулах надо заме- 7.10.51 7.10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, ФУНКЦИИ B ВИДЕ РЯДОВ' И ИНТЕГРАЛОВ 85 1 \
нить f (х) на у [/(Jt+ 0)-1-/(.*-0)|. Условия на v в некоторых из следующих формул разложения были ослаблены Cherry (1949а).
Простейшим типом такого разложения является интегральная формула Ганкеля
OO со
/(X) = J Jv (tx) t dt j" f (V) Jv (vt) V dv, (60)
о о
^ 1
которая справедлива, если v > — и интеграл
OO
J Vt\f(t)\dt
О
сходится, или если V > — 1 и сходятся интегралы
CC Ii
JvT 1/(0\dt, Jfv+1l/(OI dt.
Теория разложения (60) детально изучена в книгах Ватсона (1949, гл. XIV;
Титчмарша (1960, стр. 100) и Трикоми. В случае v = ± разложение (60)
