Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
і 00
"«(*)"'•«-Д О-ку)-
(2)
Здесь Yv п — последовательность, образованная из нулей функции z1 vJv(z) таким же образом, как последовательность yVl „ была образована из нулей
функции z~vJv (г).
Образуя логарифмическую производную выражения (1) н Используя 7.2(51), получаем
сю
Я = 1
Отсюда вытекает следующее разложение в степенной ряд, справедливое -При I г I < Yv:
OO
Artlif) V S г2""1
ТмїГ ^ ' ( )
л= I
где
S2ilV= І v;2:. (в)
га» і 7.91
7.9. НУЛИ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
73
В частности, ^ ^
s2.v= 22 (v -(- 1) ' Sl'v= 2"(v + 1)2(v + 2) • (6)
Относительно других аналогичных разложений и соотношений см. п. 7.1? Forsyth (1921); Buchhoiz (1947).
Функции Бесселя второго рода. Самым первым результатом относительно нулей функции Бесселя второго рода была теорема Шафхейт-лина (Ватсон, 1949, стр. 531), согласно которой главная ветвь функции K0 (г) имеет в правой полуплоскости лишь вещественные нули. Этот результат обобщил Hilb (1922). Если [v] — четное число, то Kv (г) имеет [v] комплекс-
jt
ных нулей в полуплоскости I arg г I < Если [v] —нечетное число, то Kv (г)
имеет [v] — 1 или [v] 1 комплексных нулей в этой полуплоскости, в зависимости от того, имеем ли мы cos (vji) < О или cos (vn) > 0. Таким образом, функции Y2n(Z) и К2л+1 (г) (п = и, 1, 2, ...) имеют 2п комплексных нулей
, і ^ к в полуплоскости I arg г|< j.
Все ветви функции Yn(z) (п — целое) имеют комплексные нули в левой полуплоскости, и все ветви, кроме главной,— в правой полуплоскости. Далее, Kv (г) имеет положительные вещественные нули лишь в случае, когда v — рациональное, но не целое число- В этом случае Yv(Z) имеет положительные вещественные нули на главной ветви, а другие вещественные нули могут быть лишь при условии, что V — рациональное, но не целое число. При этом условии Yv(Z) имеет вещественные нули лишь на ветвях, для которых 2mv в" 7.11 (41) — целое число (Hiilmann, 1949).
Относительно нулей линейных комбинаций Jv (z) и Kv (z) см. BaTCOtf (1949, гл. XV); Hiib (Ш2); Hiiimann (1949). Относительно теорем, аналогичных гипотезе Бурже, см. Banerjee (1936).
Относительно комбинаций произведения функций Бесселя первого и второго рода имеет место следующая теорема (Грей и Метьюз, 1953, стр. 107): если V вещественно, а а и Ь положительны, то
Jv (ах) Yv (bx) - Jv (bx) Yv (ах)
является однозначной четной функцией от х, все нули которой вещественны и просты (см. также Янке —Эмде — Лёш, 1964, стр. 242; относительно аналогичных комбинаций см. Carsiaw и Jaeger, 1940; Kline, 1949).
Функции Бесселя третьего рода. Исследование нулей главной ветви первой и второй функций Ганкеля при вещественных неотрицательных V было проведено в работах Faikenberg, Hiib (1916) и Falkenberg (1932). Результаты таковы: H^J (z), V^ 0, не имеет нулей в полуплоскости 0 < arg г < я. При v > О нули функций H^ в — л < arg z < 0 и Я^2' в 0 < arg-г < я симметрично расположены относительно мнимой оси.
Чисто мнимых нулей не существует, за исключением случаев, когда
\—(2k — I)+-^- (А = 1, 2, 3, ...). В этом случае есть один такой иуль. Полное число нулей функции H^' ® (г) на главной ветвн равно
3
О, если 0< V < у, 2A —1, если V = (2? — 1)+у,
2к, если (2? — 1) +-1 < v<2A + -i, ?=-1,2,3,... 74 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ /7.Ш
Теорема, аналогичная гипотезе Бурже, утверждает, что если v веществен!'о, v>—1 и w=I1 2, 3.....то • ,2,(jc) и (jc) не имеют
общих нулей (Banerjee, 1935).
Модифицированные функции Бесселя третьего рода.
Если v>0, то Kv (•?) и? имеет вулей, для которых |arg*|< тр Число нудей в области I arg 21< я является ближайшим четным числом к v — за исключением случая, когда v — — целое число. В последнем случае оно
равно V — у (Ватсон, 1949, стр. 562).
Если v-j-1 — положительное вещественное число и т — положительное целое число, то Kv {г) н Kv+m (z) не имеют общих нулей.
Если / (г) н g (z) —заданные аналитические функции, не имеющие общих
нулей и такие, что yj~y — мероморфная функция, причем Re j ^®
при Re?>>0, то функция
F(z)-f(z) K'v(z)-g(z)Kv(z)
ве имеет нулей в правой полуплоскости (Erdfclyl н Kermack, 1945).
Все нули функций Kv (z) и /v (az) Kv (bz) — Kv (az) Jv (bz), рассматриваемых как функции от v, янляюгся чисто мнимыми. Эти функции имеют бесконечно много нулей (Грей и Метьюз, 1953, стр 115); см. также Polya (1926) н BruIjn (1950) Функцией u (z), соответствующей равенстну (III) в работе Пойа, является 2Kiz(X).
7.10. Представления произвольных функций в виде рядов и интегралов
7.10.1. Ряды Неймана. Рядом Неймана называют ряд вида
OO
2 ««'у+»**)- (і)
а-0
Из разложения 7 2 (2) очевидно, что раанус сходимости этого ряда совпадает с радиусом слодимости степенного ряда
у. JCl
Lk п r(v-M + i) •
Легко получить разложение в ряд Неймана для функции / (г), представленной в виде степенного рята. Для Si ого найдем сначала ряд Неймана для степени z:
(тГ- Ё Чг1Hv+ Л) Ли ,„<*). (2)
II=O
где V не является целым отрицательным числом. Это разложение может быть проверено путем подстанонки вместо Jv+n(z) соответствующего сте- 7.10.3] 7.10. ПРЕДСТАВЛЕНИй^ ФУНКЦИИ в ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 75
