Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшие интегралы такого типа приведены в 7.14 (35)—7.14 (39). Формулы 7.14 (35) и 7.14 (36) вытекают нз формулы (31), остальные были доказаны в работе: Dixon, Ferrar (1930).
1.1л. Интегралы Сонина и Гегенбауэра и их обобщения. Разрывные интегралы более общего типа, чем (29) и (30), былн изучены Сониным и Гегенбаузром. Интеграл
OO і
и (W) Jy (а ущ^) -^Ur dt'
0 при а < Ь,
; Jv-U-I (* V«" - *») ИР» а > Ь,
Ov (да— &2)(1+M-v)/2 jV-H-
(32)
где Re V > Re ц > — 1, может быть вычислен путем замены второй функции Бесселя под знаком интеграла по формуле 7.3 (6), изменения порядка интегрирования и использования формул (24) н ннонь 7.3 (6).
Обобщения формулы (32) были даны Balley (1935а) н Gupta (1943). Например, следуя Беилн, имеем
ее
I
о п-1
Л>я, + в2+ ... +ат, Re^v1 + ... + Vm + j > Reц > — 1, (33)
т
/,(W)^-1 JJ
т
-= 2V* Г ol) Д г"*» J4a (znaa), (34)
n=l
*>«1 + в»+ ... +«m. Re ^v,+Vj-f ... -f >Re|i>a
Другое обобщение формулы (32) было даио Соннным. Для того чтобы получить его, рассмотрим интеграл
/
где т — положительное целое число, Rea > 0 н С—контур, состоящий из двух полуокружностей |z|=»A, Im г > 0 и | г | = г, Ira г > 0 и из соединяющих их отрезков вещественной оси Если а >6, Re(± v) < Rep < (2т 4-4)+ + Re ц, то прн Я->оо, г —> О вклад полуокружностей в интеграл стремится 64 ГЛ. 7. ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.«
к нулю. Разлагая подынтегральную функцию по возрастающих степеням (*4 — о'), получаем, что вычет в полюсе Z3 = а' равен
2-ш-1
йП
/ d V» оР-2 Jlk(b V^i2+?)/ff >(оа) "1 U dal (а2 Jr J*
Из теоремы Коши о вычетах и 7,2 (16) следует, что
OO
j (^ + С2)^ (<4 — а2)"
я/ / d \т Г Op-Vfi (ь ^ («*) 1 /окч
-=-I - (35)
/Р-1J (и VtiA-L2)
пі І
¦¦ —г 2~т ( — ті \а
da)
J'
e>ft, Re(± v) < Rep < 2m-f4+Rep, Re(/a)<0, /п —0, 1, 2,...
Аналогичные формулы и частные случаи перечислены в 7.14(46)—7.14(59).
7.7.6. Формулы Макдоиальда и Никольсона. Представлення произведений функций Бесселя в виде несобственных интегралов были даны Мак-дональдом и Никольсоном. Формула Макдональда
(36)
I I ехр (-Kv (If) dt » 2 Kv (*) Kv (Z), I argz і < я, Iarg ZI < я, | v%(z + Z) | < -5-,
является непосредственным следствием равенства
где соответственно X > X или X < х. Мы докажем равенство (37) для положительных вещественных X и X. Отсюда, в силу 7.2 (13), вытекает формула (36) для положительных вещественных Z1 Z; распространение на комплексные z, Z выполняется с помощью аналитического продолжения. Полагая в формуле (25) о — х, ? «= X, Ys = "j. получаем
г г Г JEl
Iv = t exp (xlXxt) J ^v {XV) Jv (Xv) t~ 2 о dv. (38) 7.14.11 7J4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 65
Подставляя ато выражение в (37), выводны, что
СО
С [ t х' + Х*\ . (хХ\ dt
J р \ "2--Ї ) v ("Г") "Г ""
о
— J /v (XV) Jv (Xv) vdv I в 2 dt =
OO
-2 \ J4(Xo)Jy (Xv) -J^-.
о
В силу формулы 7.14 (57) отсюда вытекает равенство (37). Формула Никольсона
OO
Kv. (Z) Kv (-*)=• 2 j ATv+|i (2Z Ch t) сі» [(|і — v) t] dt =
оо
— 2^/Су-ц(2гс»і*)с1і[(ц + у)*]Л, Re*>0, (39) может быть доказана следующим образом. Из 7.12(21) следует
OO со
K4(z)K»(z) = j J J е~г ^d* '+ch " ch (і*/) ch (vt>) dt dv.
—00 —00
Сделаем в этом интеграле подстановку t-\-v^ % t — v = 2rj. После несложных преобразований получим
OO OO
*vW*»M—J- J J ^2tch cch4ChI(H^v) С] Ch [(H-V)IJ] ^dIJ. —00 —00
В силу 7.12(21) отсюда следует (39).
Другая формула, принадлежащая Никольсону, имеет вид (см. Ватсон, 1949, стр. 489)
СО
[У, (*)]* 4- [Yv (z)]s - 8Я-* J K0 (2Z sh f) ch (2vf) dt, Re z > 0. (40)
11 V.-UP \ ------' ...VXJW* ^vw, 1I luwuI iwmwI luuuuI . Ч IVI,
стр. 366). Относительно суммы н разности произведений двух функций Бесселя см. Buchholz (1939, 1947).
3 Г. БеВтыен, А. ЭрдеЯн 66 ГЛ. 7. ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.«
7.7.7. Интегралы от функций Бесселя по индексу. Рамануджану принадлежит следующая формула (Ватсон, 1949, стр. 494), справедливая при вещественных у и а, Ь > 0, Re (v + ц) > 1:
00
1 a-»-* Jp+tla) Ь-*+* Jv-t(b)elx> dx-
і
(2cosI) ''yiv^ , Г,/——щ\
U*~2+6V2) если |<я.
О, если I у I > я.
(41)
Она доказывается путем применения к 7.7(12) формулы обращения преобразования Ф}.рье.
Цилиндрические и сферические волновые функции могут бьііь сооївет-сівенно выражены в виде
OO
K0 (Va*+b2 — 2ab cos q>) = J Klx (a) Klx (6) сії [(я—<р) х\ dx, (42)
о
гхр (— lb Yai -f- Ь% — ЧаЬ cos у)
к a2+ 62- lab cos ср
OO
---I XenxHft (ka) Н$ (ftb) th (я*) Р. (— cos <р) dx, Im ft < а
2 ^ft0J -l+ix
(43)
Равенство (42) вытекает из формулы Макдональта 7.7(36), а равенство (43) — из теоремы о вычетах с использованием 7.15(41) Формула (42) является частным случаем формулы Крама (Crurn, 1940)
OO
J* к, (|+ч) (a) K1 (5+т)) (6) *,Л-С) ^dn-Kl (5_t) (С) e-tB-tA. (44)
-OO
где А, В, С являются углами треугольника, длины сторон которого равны а, Ь, с
Другое обобщение формул (42) и (43) имеет вид
