Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
т =O
(85)
Асимптотические разложения. Вообще говоря, ряд (72) расходится. Но можно показать (Ватсон, 1949, стр. 383), что он является асимптотическим разложением Sj1, v (z), когда | z | — большое число и | arg z | < я. Интегральные представления. Ийтегральное представление
W „.»(fp-rjilp)*
я T
• X J ¦/(1+и-v)/2 (z 8ln O> (sln o/l+v-|l)/2 (cos 0)v+|1 dB, Re (v + |i +1) > 0, (86) 52 ГЛ. Т. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ |7Л.в
легко проверить путем разложения по возрастающим степеням г. Относительно дальнейших интегральных представлений см. формулы 7.12(48)-7.12(52) и Szymanski (1935), Meljer (1935а, 1938, 1939а, 1940, стр 198, 366).
Ломмель изучил также функции от двух переменных, определяемые равенствами
оо V+2т
(», г) = 2 (-Dm (-j")V+ А+» (*). (87)
И!= О
V^w, *) = cos(^ + |^-f^-)-|-f/_v+2(®,*). (88)
Относительно теории этих функций см. Ватсон (1949, п. 16.5 —16.59); см. также Shastrl (1938).
7.5.6. Некоторые другие обозначения и функции. В книге: Nielsen, Handbuch der Theorie der Zyllriderfunktionen использованы некоторые обозначения, отличные от введенных в п. 7. 5; перечень их приведен в книге Нильсена на стр. 406. Этими обозначениями являются
Zv (г) = Hv (г), "FvW = Jv (г), Qv (г)--Ev (г),
22-р cos Г-^- (v — p)1 Sp_i, v (г)
Uv- о (г)--, 12 . . J---.
'(WM*+*)
Далее в этой книге изучены следующие функции:
Av W - -J- Uv W + J-v (*)Ь Xv (г)_ I [Jv (ж) - J_v (*)], л
я Ф* (г) = f J е1г С08 ф COS (V4)) </ф, о
я
я Av (г) = /1"v J <?<г =08 ф sin (vq>) dq.
о
Последние две функции являются обобщением интеграла Хаисеиа для коэффициентов Бесселя (см. 7.12 (2), а также 7.12 (40) — 7.12 (45)).
7.6. Теорема сложения
Сущестнует два типа разложений функций Бесселя, известных под названием теорем сложения. Разложения типа Гегенбауэра связаны с теорией сферических волновых функций (в 2v +2-мерном пространстве), в то время как разложения типа Графа связаны с теорией цилиндрических воли. Это различие не является вполне точным, и оба типа совпадают при v = 0. По сути дела, эти два типа разложения являются двумя различными обобщениями теоремы сложения Неймана для /<>(<?)¦
7.6.1. Теорема сложения Гегенбауэра. Мы установим теорему сложения Гегенбауэра для модифицированных функций Бесселя третьего рода Kw (г). Положим
V = у *2 + Z»-2*Zcos<p = YiZ-ze-'^iZ-ге'<<>) (1) 7.6.21 7.6. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ 53
и предположим сначала, что z, Z, q> вещественны и 0 < z < Z. Полагая в 7.12 (23) z — 1 и а — w, имеем
OO
-Vf / Ч 1 Г I * z' + Z* — 2zZcos<p\._v_i /Пч w vZCv (W)=-J J exp\—t--Lj---Z.jt dt. (2)
При v^O используем разложение Сонина 7.10 (5)
OO
expH-1ZZ соеф) = Г(V) ^ (V + л) q(cos<p)/v+„(^.)
я-0
и подставим его в (2), после чего почленно проинтегрируем, используя формулу 7.7 (37). Таким образом мы получим теорему сложения (относительно функций CJj см. п. 3.15)
OO
w-v Kv (W) - Г (V) 2 (V + n) q (cos ф) /у+я (*) Kv+„ (Z). (3)
л=0
V=Jfc 0, —1, —2, ..., z <Z. Если устремить здесь V к нулю, то получим, используя 3.15(14),
Ко (•) = I9 (z) Ко (г) + 2 Jj /„ (г) /С„ (Z) cos Лф, z <Z. (4)
л=1
Из 72 (12) н 7.2 (13) вытекает, что ряд (3) сходится одновременно с рядом
^ CJJ (cos ф) , и поэтому из 3.15 (1) следует, что формулы (3) и (4)
сохраняют силу, если jze* /ф | < | Z|.
Теоремы сложения для других функций Бесселя могут быть получены из формулы (3) с помощью соотношений 7.2 (16), 7.2 (17), 7.2 (7) и 72 (8). См. также 7.15 (28) — 7.15 (32).
7.6.2. Теорема сложения Графа. Формула сложения Графа
-lip — 00
Jy (•) ("Tz5r)2 ~ S yv+n (Z) Jn W «ІЛф. (5)
я»— OO
где
IMiiMclZI, W = V г2 + Z2 — 2*Z cos q>
может быть доказана следующим образом. Из 7.3 (5) мы имеем
Cnoyw(Z)JeW/"*-
(0+)
-OO exp(-t?) 14 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ р.в.2
Из 7-2 (25) вытекает
OO
(2*/) 2 Jv+„ (Z)JeWt""-
/I"»-OO
0+
-ooexp(-i?)
Положим здесь (Z — ze~l<t)t — wv, ——— = ^- в выберем значение
квадратного корня (1) так, что я>->~|-Z, когда г~> 0. Тогда можно взять контур, начинающийся и оканчивающийся в точке —ооехр(—1а), где а arg w. Таким образом, мы имеем
OO
<2яІ) 2
Я»—OO
(Р+)
- «Г* (Z J exp [-у(о _о-»)] ir»-1 tfn,
-оо ехр(-(а)
Вновь применяя 7.3 (5), получаем (5).
Формула (5) может быть записана в несколько ином виде, если ввести угол ф с помощью равенств
Z — z cos ф = ю cos ?, z sin ф =¦ w sin ?.
Ясно, что для вещественного ф и положительных z, Z и w ф является углом, прогаволежащнм стороне г в треугольнике со сторонами z, Z, в>. Мы имеем тогда
#"+yv(«0- 2 Jv+a(Z) Ja(Z)t'**,
лз -OO
|»*"4<|Z1, уф0, ±1, ±2, ... (6)
Относительно других функций Бесселя см. формулы 7.15 (33) — 7.15 (36).
Формулы удвоения для функций Бесселя первого рода и для модифицированной функции Ганкеля в случае полуцелого порядка вывел Кук (Cooke, 1930). Результат имеет вид
J ! (2Z) = (-\)тУлті X
»Я+j
т
Jmd П\ (im— /1 + 1)1 m-n+4 -(m-nt-sj л =O t \ г /
, m (-Vf(2m-2n+\) Г/С
