Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
т=0
* 2
+ cos (г-? (-lrfn+i^m + l)^)-2"1-1
т=О
_2_ яг
П-1
je
sin (г-2 (-1)т(л + -і.2/«+і)(2*)-
m=»u
. (1)
¦3m —1
. (2)
- cos (г- -f-) 2 (-1)"1 ("+ J. 2/n) (2г)~
m=0
Г Я
Ж1' 1 (г) = /-"-V V + /n) (2z)~m, (3)
л
WpS (г) - у /ntl^i2 2 (-Om (л+J. /я) (2*)—, (4)
Iti^d 90 гл. 7. функции Весселя. формулы (7.18.1
J , (г) = (-1)я+1^ ,(г); Г ,<*)«(-!)»У ,(г), ' (5)
-Я-Д я+т -»--у Й+-І * '
е'*
,/X
Г яг
•г
MV)--1НЛ\<г)--tV^
2 ~ * *
Hf(z)-IH<\ W-/-|/X,-i»
(6)
(7)
(8) О)
(10)
Я"' ,(г) = /(-1)"Я11' , (z); Я'2' , (г) = -/(-1)"Я'2» . (г), -я-т л+т я+2
ї.и-нг/ї'-Ш^,
»т 2
я», „,-„_,Г/Х^«^)'^!.
- /I"'„ц»-«-o-^'ai. с,
> і (*> - У 1 (Z) — j/^j- sin г. (14)
2
У! (г)--J ± (z)--cos г, (I5)
H ~2
I1 (*)-~lA^rt г, (16)
(12) (13)
(17)
(18)
Рекуррентные соотношения и формулы дифферен-пирования для модифицированных функций Бесселя.
(-щ)т l*V 'v (г)|" 7V-" <*>• (19>
ЫУwu_v '*{z)]" *~v~w /v+»(г)- (20) Т.Т1] 7.1t. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ 91
ЫЬ-f l*V **(г)1 = (_1)Я iz)- (21)
ЬУ" l*~v (г)]" (~1>т *~У~Я Кч+п {г)г (22)
/v_, (г) — /v+) (г) = 2v*-' Zv (г). (23)
Zv-. W +/v+1 W =-2/;(г), (24)
ChW-^IW--2vz-'/Cv(z), (25)
Kv_, (г)+ tfv+i W ---2<(г). (26)
Вронскианы и соотиетствующие формулы.
W(»! W2) = ®J®2 — W1W2,
W(Jy,J v) = -^|-sin(vn), ' (27)
(28) (29)
r(«t".iff)—Л. (ЗО)
(31)
IP(ZviKv)--*-1. (32)
yv (z) У-v+i (г)+/_v (г) /v_, (г) - 2s'"(VJt), (33)
^v" (г) (г)^Я^, (#) //» (*) ^ _ ІІ-, (34)
/v W lVi (*>—У* W -Zv-I W - (35)
Vi W (^) -Zv(г), (г) = A-, (36)
^v M "1-і W ¦-Vi (г) (*> - , (37)
ZvW /_v+1 (г) -/_v (г) V1 (г)--ISSjA, (38)
JlZ
Kv+1 (г) /v (*) + Kv (*) Vi (*) - (39)
Функции переменного »<я.т(« — целое).
yv (г*'тл) = e'm3tv Zv (г), (40)
Yv (zetmn) = #-'»*» Kv +2/ ^ff cos (rtv) /v (*), (41)
— Si° (г), (42, 93 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ. ФОРМУЛЫ (7.18.1
»f (**"»*) - slntITn^nvl Mf (z) -?^ Hf (Z), (43)
lv(zeimn) = elmm lv(z), (44)
Ky (Uteut) - *"'mJ,v Kv (z) - in /v (*)• (45) Если V — целое число, равное п, то
v->« Sln (nv) v ' где I соответственно равно т — 1, т или да +1.
7.12. Интегральные представления
Коэффициенты Бесселя.
я
п Jn (z) = J cos (z sin <р — /мр) d(f, (1)
о
я
я Jn (Z) = Г" J в" 008 ф cos (Лф) <йр, (2)
о
я
2
я У!я (z) "2 J cos (г sin ф) cos (2лф) г/ф, (3)
2
Я /»я+1 ^"2J sin sln ф) sln 1(2« + ФІ rfV- (4)
В формулах (1)-(4) /і—О, 1, 2,... Интеграл Пуассона.
я
T
г (v + 2)7v w " J7 (2)V Icoa (*,ln ф) (co» *)8v ** (5)
fc 0 *
Jt
'2
I J*tn—41\ *
(6)
Ф IJJl 7.18. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 94
= TtHfj U-V1
я
В формулах (5)-(10) Rev> — -j. Формула Гейне. Ivn I я
nYv(z)= в 2 I /JVi*008'cos(Vf)A —
qd
— J в'2 ch' [сії (V/ — /vai) + в~шch (W)] dt
о
Формулы Мелера — С о н и н а.
2
(8) (9) (Ю)
0 < arg * < я. (11)
-4
В обеих формулах лг>0, < Re v< у.
во
я Jv (Jt) - 2 J sin (je Chf--^y-) Ch (Vf) dt,
а»
Itrv(Jf)--2 J* eoi(*ch*—-y-)ch(*) dt.
sin (xt) dt, (12)
cos (xt) dt. (13)
(14) (W)
В формулах (14) и (15) *>0, —1 < Rev< 1.
я
J
JiJ4(X)= j* «-v'sln^ch< —j* cos(xsint — vtf)dt.
(18)
«>0, Rev>0. 94 ГЛ. Т. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ФОРМУЛЫ Р.И
Обобщения интегралов Шлефли (Lambe. 1931):
V _ «
Я JyiV&^y*)» J cos (Jt sln t -V*) dt -
о
оо
— 8ІП(УЯ) J e-vte-ytht-xabtdt, Re (Jt +у) >0, (17) о
V _ *
„ j?±2.j2 Yv(yx2_yt)^ J Sco"Sln(XSlttt-Vt)dt-
СО
_ J (ev<+ych t + e-v/-ych< cos в'Х Ihtdt Re л: > Re У > 0. (18)
о
Модифицированные функции Ганкеля.
OO j
Г (-j-v)Kv(*)-rs(7)V j" е-"V1-I)'v'Jdt,
(19)
Re г Ъ- 0, Revc-I,
OO
Г (I + v) KvW=/H(i-)V J" ,-'ch'(8h O2v dt,
(20)
Re г >0, Rev>—
Kv (г) - J е~** * ch (vf) dt, Re г > 0, (21)
о
OO J 1
Г (v +1) Ky (z) - /f Л-' J (l + 4)V~ dt, (22)
Re* > O1 Rev> —у,
00
Kv(M)-Ip j* Re * > O1 Re (a2z) > 0. (23)
t\n 03
? J exp [(t -^)-*]*-1 dt, (24)
IJJl 7.18. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 96
оо
Kv (JC) COS (-^r) = J cos (JC sh t) ch (vt) dt, (25)
о
оо
Ky (Je) sin I^j = J sin (x Sh о sh (vt) dt. (26)
O
В формулах (25) и (26) je > 0, — l < Re v < l.
l
K4(Z) - Щ- Г (v +1) J ('* -Ms) V 2 cos t dt, Rev>—i. |arg*|'<|-.
Функции Ганкеля.
Im z > 0, Re v < ^,
Im г > 0, Re V < -g-.
°° UVTTii
Im г < 0, Rev<-i-,
(27)
(28)
(29)
Im г < 0, Rev < і,
-(Н^-МЇІ'-'-тШ"-
(31)
У-— , te-гуя-я 1 „ і
Г (v+ і) Я'1' (*) - у е f Г (l 4- ?) 2 at. (32)
о
Rev>~i. |SI<i, 4_»<1Г8г<в+^,
Г (,+ >) «f W- /Z' (, _ » ,, до
u
Rev>-i, |O|<J, —+» 06 гл. 7. функции бесселя. формулы 17.19
Представления Берне*.
- С+< оо
О ' <v* Г 1 2s
2яг//«>(*)--2 J Г (-V-*) Г (-*)(--?) rfs. (34)
—С—I oo
I arg (--/2)1 C-J, 2ягЯ<* (г)-Г 2 J Г (—V —s)T(—s) 'ds, (35)
-C-Ioo
I arg (te)I < -2.; С—любое положительное число, большее, чем Rev.
