Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
= ехр I / andx J Y\
V ехр
(ак - ak-i)dx
т. е. формула (4) справедлива.
Выведем теперь формулу (5). Как известно, вронскиан Wk выражается с помощью определителя к-то порядка:
Wk
2/1
2/2 У2
(fc-i) (fc-i) 2/i У\
Ук У'к
(fc-i) Ук
Система функций (у\, у2, ¦ ¦ ¦, у к) есть выборка из базиса (фундаментальной системы решений (ФСР)) (2/1,2/2, • • •, Уп) уравнения (1). Эта выборка в свою очередь образует базис для уравнения к-то порядка
^ргГ>г2/= Д(Г>-аг)2/= 0, рг=Рг(х), Pn = I.
(9)
г=0
г=к
56
Глава 1
Согласно формуле Лиувилля о связи коэффициента ara_i уравнения (1) с Wn имеем
Wn{x) = Wn(X0) exp I - J a„_i(i)di I , X0 Єї. (10)
ха
В силу (10) получим из уравнения (9)
Wk = Wk(X0) exp I - /pk-i(t)dt . (11)
Без ограничения общности положим Wk{%o) = 1. Но согласно лемме 1 (см.
X
формулу (3))pfe_і = -(ai + .. .+ак), откуда Wk = ехр(/(«i + .. . + ak)dt).
X0
Запишем теперь правую часть формулы (4) с помощью вронскианов. Так как
exp / an(t)dt
Wn
Wn-
-, а ехр
- (ctk- ctk-i)dt
WL1
WkWk-
(по определению, а0 = 0, Wo = W-\ = 1), получим (5).
Наконец, факторизация (6) следует сразу из (2) и формулы типа (11), поскольку
Следствие 1. Факторизацию оператора (Iі) можно представить также в следующих видах:
L = VnVvn-XV ... V1Vv0,
п 1
L=HrJkY[V(T1,-1).
(12) (13)
к=1 к=п
8. Теоремы существования. .. 57
Уг = ехр(ггж) ехр yj adxj , п ф Tj (і ф j). А в случае кратных факторов, когда факторизация (2), (14) примет вид
т т
Y[{T>-a-ra)l"y = 0, Y,ls=n>
S=I S=I
ФСР станет
Для некоммутативной факторизации (2) можно воспользоваться следующим результатом.
Теорема 4 (см., например, Беркович [22]).
1) Общее решение уравнения (2) можно представить в виде:
У=Л^2скУк, к = 1,п, (15)
где уі, г/2, • • • , Уп составляют ФСР уравнения (2), причём
ук = ехр у j cxidxj X ехр I / (а2 — ct\)dx J dx ... І ехр I / (ак — ak-i)dx ) dx. (16)
. Действительно, введя обозначение = J%!_, к = ~п, Vn =
WkWk-2
= J^1 , получим из (5) формулу (12). Если положить »71 = ехр (J*a\dx),
T]2 = ехр (а2 - ai)dx^j ,...,% = ехр (ак - ак-г)ах^ ,
то получим из (4) факторизацию (13). •
Теорема 3 (см., например, Беркович [20]). Для того чтобы факторизация (2) была коммутативной, необходимо и достаточно:
cti = ct + п, гі = const. (14)
Следствие 2. ФСР уравнения (2), (14) имеет вид
58
Глава 1
2) Общее решение неоднородного уравнения
Ly = f(x) (17)
(L допускает факторизацию (2)) имеет вид у = Y + у*, где Y находится по формулам (15), (16), а частное решение у* уравнения (17) имеет вид:
у* = ехр i / a\dx ] / ехр i / («2 — ajdx ] dx ...
ехр yj (ап — an-i)dxj dx J ехр [ — j andxj f(x)dx. (18)
С целью экономии места в формулах (16), (18) опущены пределы интегрирования, а различные переменные интегрирования обозначены одной и той же буквой х.
Теорема 5 (см., например, Беркович [22,32]). Общее решение уравнения
і
Ly=H(?kV-ak)y = f(x), апф\, (19)
к=п
можно представить в форме у = "YJl=I свУв + У* і где ув, s = 1, п образуют ФСР однородного уравнения Ly = 0 :
ys(x) = ехр j^-dx^J JP11 ехр ^ j (~^г ~ \ dx\ dx .
-J e-A°*(J
?2 ?i
Js ?s-1
а у* — частное решение уравнения (19):
dx dx, (20)
у* = ехр ( / ^-dx^j j P1 1 ехр ( ^J- — ^J- ) dx ) dx ...
-* U vt - Sir) "v* J ^ (-1 И '<*>"*•
(21)
Отметим, что используемые в данном параграфе различные виды некоммутативной факторизации происходят в расширениях Пикара-Вес-сио .PFполя Fq. В то же время коммутативная факторизация (2), (3) в силу леммы 1 происходит в основном поле Fq.
8. Теоремы существования. .. 59
г лп , , v-n \ УіУі+У2У2 , .УіУ2-У2Уі L = (V + си + Ct)(V - а), а=------Yi---—.
Vi + УІ Vi + УІ
Пример 1. Дано уравнение Бесселя индекса v = ±^:
Ly = x2y" + ху' +(х2 -^Jy = O. (24)
Оператор xr2L = V2 + \v + 1--допускает коммутативную
комплекснозначную факторизацию (v + + гj (v + — і) . Посколь-ку уравнение (24) имеет ФСР в комплексной форме вида: у\ = —=, у2 =
8.3. Факторизация операторов 2-го порядка
Рассмотрим ЛОДУ
у" + а\у + а0у = 0, Oi Є С), CiOeC1. (22)
Пусть уі (х) — решение (22), не обращающееся в нуль в /. Тогда выполняется факторизация:
Ly= (v + a1 + Щ (v- Щ у = 0. (23)
Из (23) в силу (16) тотчас следует известная формула для линейно независимого от у\(х) решения у2(х) уравнения (23):
У2{х) = уі Jexp (- Jciidx^j y72dx.
От вещественной факторизации (23) всегда можно перейти к комплексно-значной. Действительно, если у\ и у2 — решения уравнения (22), то y\+iy2, (і = \J— 1), также будет решением (22). Поэтому факторизацию (23) можно заменить на следующую:
L=(v + a1 + y-^) (d-^±MV™ \ Уі + гу2 ) \ уі + гу2 }
60
Глава 1
^—=-, то ей соответствует ФСР в вещественной форме Yi = msx; Y2 =
л/х л/Б
В силу (23) получим для оператора x~2L следующие вещественные
